現在你需要找出走遍7座橋的方法,但是,必須遵守以下條件:
1 走過的橋不能再走
2 可以多次經過同一塊陸地
3 可以以任一陸地為起點
4 不需要回到起點
數學家尤拉已經將這個問題作為一筆畫問題解決,這就是圖論的開山鼻祖。
在反覆的實驗中,我們注意到了:要通過乙個頂點,這個頂點必須具有2條邊,即「入口邊」和「出口邊」。1個頂點關聯著多條邊,但是每通過頂點一次,這個頂點就減去2條邊。這就是暗藏玄機之處。
頂點所關聯的邊數,稱之為該頂點的度數。
度數為偶數的頂點稱之為「偶點」,度數為奇數的點稱之為「奇點」。
接下來,順著圖中的邊走,在經過的邊的端點處打上勾,並且減去頂點的度數。我們將此稱為「邊走邊減」。
我們並不關心邊具體是從**開始的額,通過什麼路徑,只看順著邊走時的度數是如何變化的。
出發時,起點的頂點度數減1.
途中每經過乙個頂點時,該頂點的度數減2,因為經過了」入口邊」和」出口邊」。
每次經過頂點,頂點的度數都減2.因此不管經過頂點幾次,經過的頂點的奇偶性不變,即偶點還是偶點,奇點還是奇點。
最終到達頂點時,該頂點的度數減1.
我們假設如此完成了一筆畫,那麼可能出現以下兩種情況:
(1)起點和終點相同的情況
總結起來就是圖中的頂點都是偶點
(2)起點和終點不同的情況
圖中只有兩個奇點
如果哥尼斯堡的七橋能用一筆畫通過的話,那麼應該滿足「所有點都是偶點,或者有2個奇點」
但是在圖中,4個頂點都是奇點,由此證明了給定的條件下不能走遍七橋。
尤拉的論斷重點在於:不反覆試驗也能證明不能一筆畫成。不用頻繁地試走各種路徑,只要觀察各頂點的度數就可以。
另外,尤拉的證明中蘊含著很重要的思維方法,那就是在觀察各個頂點的邊數時,著眼點不在「數的本身」,而是數的奇偶性。並不是1條、3條、5條這樣分散地思考路徑,而是概括為「奇數條」來整體思考。
當我們想要詳細地研究事物時,往往容易陷入「想正確把握所有細節」的思維。但是,如奇偶性校驗那般,較之「正確地把握」,有時「準確地分類」則更為有效。
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