組合與排列

定義：從 n 個不同元素的集合中，任意取出 m(m<=n) 個元素排成一列（有先後順序）稱為乙個排列；此種排列的總數即為排列數，即叫做從 n 個不同元素中取出 m 和元素的排列數。

公式：

（當 n=m 時，分母為 0! = 1，即為全排列）

推導：在具有 n 個數的集合中，順序取出 m 個數，成為乙個排列。

上述過程符合「分步乘法計數」場景，應用分步乘法計數公式：

得到 n(n-1)(n-2)…(n-m+1)，即 a(n, m) = n! / (n-m)! 。

定義：從 n 個不同元素的集合中，任意取出 m(m<=n) 個元素並成一組（無先後順序），叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的乙個組合；從 n 個不同元素的集合中取出 m(m<=n) 個元素的所有組合的個數，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的組合數。

公式：

推導：在具有 n 個數的集合中，獲取 m 個數組成一組。

首先依舊可以得到排列數 a(n, m)，但又因為組合數是無序的，而排列數是有序的，所以需要在 a(n, m) 的基礎上去除掉元素組合一致的排列。即 c(n, m) = a(n, m) / m! 。這裡的理解需要轉一下彎，所以我們通過下述證明來輔助理解這條公式。

證明：a(n, m) = c(n, m) * a(m, m)

第一步，從 n 個球中取出 m 個來，先不排序，所以為組合數問題，得到 c(n, m)。

第二步，將第一步取出的球全部排列，a(m, m) = m!，即求組合的全排列。

第三步，應用分步乘法計數原理，得到 a(n, m) = c(n, m) * a(m, m)，即 a(n, m) = c(n, m) * m! 得證。

所以從 n 中取出 m 的排列數，實際為從 n 中取出 m 的組合數與每乙個組合自身所擁有的全排列數的乘積。

定義：重複組合是一種特殊的組合，從 n 個不同元素的集合中允許重複地取出 m 個元素（任意取出乙個元素，然後再將其放回到集合中）形成乙個組合，叫做從 n 個元素中取出 m 個元素的重複組合。

公式:

分析（放球模型）：將重複組合的概念轉換為放球模型來進行分析，將 n 個不同的元素當作 n 個不同的格仔，既有 n-1 塊相同的隔板。同時用 m 個相同的小球，當作取出 m 個元素。現在問將 m 個相同的小球放到 n 個格仔裡，有多少種方法？

相當於：

最後再給出組合數恒等公式，大家不妨自己推導一下吧。