動態規劃演算法（一）

動態規劃與分治方法相似，均是通過子問題的解求解原問題。區別是分治演算法在求解子問題時會做許多不必要的工作，它會反覆求解那些公共子問題；而動態規劃演算法對每個子子問題都只求解一次，將其解儲存在乙個**中，從而無需每次求解子子問題時都重新計算，避免了不必要的計算工作。

鋼條切割問題：給定一段長度為n英吋的鋼條和乙個**表pi(i=1,2,...n)，求切割鋼條方案，使得銷售收益rn最大。

長度i123

4567

8910**pi15

891017

1720

2430

先說一下整體的求解方法：將鋼條從左邊切割下長度為i的一段，只對右邊剩下的長度為n-i的一段繼續進行切割，對左邊的一段則不再進行切割。我們可以用公式來描述上述方法

rn=max(pi+rn-i) 1<=i<=n

首先用分治的思想求解最優鋼條切割問題

這是一種直接的自頂向下的遞迴方法，這種方法效率極低，因為cut-rod反覆地求解相同的子問題。通過圖例來說明此問題：

圖中，從父節點s到子節點t的邊表示從鋼條左端切下長度為s-t的一段，然後繼續遞迴求解剩餘的規模為t的子問題。可以看出，在圖中有許多相同的子樹，比如以1、2為根的子樹，在利用前面的演算法求解時，每次都要對相同的子問題多次求解，導致效率很低。

使用動態規劃方法求解最優鋼條切割問題

前面的演算法最大的問題就是反覆求解相同的子問題，而動態規劃方法通過安排求解順序，做到對每個子問題只求解一次，並將結果儲存下來。以後再次需要此子問題的解時，只需查詢儲存的結果（通過空間換取時間）。

帶備忘的自頂向下法

memoized-cut-rod(p,n)
for  i=0 to n
r[i]=-1
return memoized-cut-aux(p,n,r)

memoized-cut-rod-aux(p,n,r)
if r[n]>=0
return r[n]
if n==0
q=0else q=-10000
for i=1 to n
q=max(q,p[i]+memoized-cut-rod-aux(p,n-i,r))
r[n]=q
return q

用c++實現如下：

int cut_rod_aux(vectorp, int n, vectorr) 
r[n] = q;
return q;
}int cur_rod(vectorp, int n) 
int main()
;	int max = cur_rod(v, 9);
cout << max << endl;
system("pause");
return 0;
}

帶備忘的遞迴演算法為每個子問題維護乙個表項來儲存它的解。每個表項的初值設為乙個特殊值，表示尚未填入子問題的解。當遞迴呼叫過程中第一次遇到子問題時，計算其解，並存入對應表項。隨後每次遇到同乙個子問題，只是簡單地查表，返回其解。

自底向上的動態規劃演算法

bottom-up-cut-rod(p,n)
r[0]=0
for j=1 to n  //從小打大，
q=-1
for i=1 to j  //i是切割點
q=max(q,p[i]+r[j-i])  //計算長度為j時的最大銷售收益  
r[j]=q  //儲存長度為j時的最大銷售收益
return r[n]  //返回長度為n時的最大銷售收益

上述方法需要恰當定義子問題「規模」的概念，使得任何子問題的求解都只依賴於更小的子問題的求解。所以通過將子問題按規模排序，按從小到大的順序進行求解。當求解某個子問題時，它所依賴的那些更小的子問題都已經求解完畢，結果已經儲存。這樣，每個子問題只需求解一次，當求解乙個子問題時，它的所有前提子問題都已求解完成。

求解規模為j的子問題的方法與cut-rod所採用的方法相同，只是通過乙個陣列將r[j]的元素儲存下來，直接訪問r[j-i]來獲得規模為j-i的子問題的解，而不必進行遞迴呼叫。

擴充的動態規劃演算法（可以計算出切割後的鋼條的長度）

extended-bottom-up-cut-rod(p,n)
r[0]=0
for j=1 to n
q=-1
for i=1 to j
if q
print-cut-rod-solution(p,n)
(r,s)=extended-bottom-up-cut-rod
while n>0
print s[n]
n=n-s[n]

extended-bottom-up-cut-rod(p,n)演算法是在bottom-up-cut-rod上的略微改進，新建立陣列s，在求解規模為j的子問題時將第一段鋼條的最優切割長度i儲存在s[j]中。

print-cut-rod-solution(p,n)演算法通過呼叫

extended-bottom-up-cut-rod(p,n)來計算切割下來的每段鋼條的長度s[1...n]，最後輸出長度為n的鋼條的完整的最優切割方案。

動態規劃演算法（一）

動態規劃演算法

動態規劃演算法

動態規劃演算法

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