newton-raphson
切線法解高次方程近似根
對於一般的一次，二次方程來說，求解方程的根比較簡單。但是對於四次、五次甚至更高次方程，求解方程的f(x)=0的根變得十分困難甚至不可能完成。為此newton（牛頓）在1736
年method of fluxions
中發表文章提出一種解決方案，事實上，牛頓所提出的這種方案，另一位數學家
joseph raphson
於1690
年已經發現。為此，牛頓法也稱為newton-raphson method
。牛頓法求解方程近似根，最明顯的標誌是利用方程的切線，所以牛頓法也稱為切線法。
如圖1：
方程y=f(x)=0的根，是f(x)與x座標軸的交點。黑色的方塊點就是真實的方程根，是我們要求解的根。但是在有些情況下，方程的階數太高，無法直接求解，所以只能求出近似值。
為了找到這個根的近似值，採取一步一步趨近的方法。具體來說：
（一）首先選擇乙個起始值，這個起始值的選擇可以人為的、經驗性質的選定乙個較為合理的點，該點當然是y=f(x)上的點。在圖1中就是(x0,f(x0))作為初始化的點。點(x0,f(x0))的選擇是先驗的。
（二）然後過點(x0,f(x0))上的點做一條切線，過曲線上一點的切線方程有現成的點斜式方程公式可用，
（公式1）
求得該切線方程後，該切線與x座標軸相交，再一次求得過(x0,f(x0))點的切線與x座標軸的交點x1,。
（三）獲得x1後，把x1帶回到曲線y=f(x)中，於是有了第二點(x1,f(x1))，繼續求過（x1,f(x1)）點的切線方程，與改切線方程x座標軸的交點為x2。
（四）拿到x2後，帶回曲線方程，得到新點(x2,f(x2))，還是求過該點的切線方程，該切線方程與x座標軸有交點，交點可以得到為x3。
至此，可以看到，通過從x0到x3的每一輪逼近，x3已經十分接近要求的黑色方塊值。如果x3的結果不夠理想，可以繼續採取上述步驟再做幾次迴圈求解。
總結，如圖2：
更普遍的，把（xn,f(xn)）代入公式1，令點斜式方程y=0，可以得到每一次進一步的求解更逼近的x結果的公式：
這樣迴圈往復，最終可以取得理想的方程y=f(x)=0的近似解。可以看出，牛頓法數學思想再加上幾何化比較明顯，所以簡單易用，但是也可以看出在實際的求解過程，所消耗的人類計算量通常會很大，所以在手工計算數值時代，牛頓法的實用性不是非常理想。如今牛頓法重獲新生，是因為計算機的數值計算非常適應牛頓法，計算機非常喜歡這種型別的迭代計算模式，計算機不同於人類，尤其擅長這種數值方面的這種迭代計算。
但是要注意，牛頓法對初始值的選擇有一定程度的敏感，如圖3：
圖3中的方程選擇的初始值(x0,f(x0))導致無法求解到方程的根。是乙個死迴圈。
還有就是，牛頓法所求的根，在距離較遠處逼近時候，因為初始值x0選擇不當，可能會求得不是想要的結果，如圖4：
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