(2018浙江高考壓軸題)
已知函式$f(x)=\sqrt-\ln x.$
(2)若$a\le 3-4\ln 2,$證明:對於任意$k>0$,直線$y=kx+a$ 與曲線$y=f(x)$有唯一的公共點.
分析：等價於$k=\dfrac-\ln x-a}$有唯一解.記$g(x)=\dfrac-\ln x-a}$,則$g^(x)=\dfrac}-1+a}$,
記$h(x)=\ln x-\frac}-1+a$,則$h^(x)=\dfrac}$,故$h(x)$在$(0,16)$單調遞減$(16,+\infty)$單調遞增.
所以$h(x)_=h(16)=\ln(16)-3+a\le0$,所以$g^(x)<0$,即$g(x)$單調遞減.又$\lim\limits_(\dfrac-\ln x-a})= +\infty,\lim\limits_(\dfrac-\ln x-a})=0$,故$k>0$時$y=k$與$g(x)=\dfrac-\ln x-a}$有且只有乙個交點.
注:這裡$a\le 3-4\ln 2$的條件可以考慮$f(x)=\sqrt-\ln x.$的二階導數的拐點$f^(x)=-\dfracx^}+x^=0$得拐點為$x=16$,求拐點處的切線方程:$y=\dfracx+3-4\ln2$.
考慮$f(x)$的影象,當$a\le3-4\ln2$時,對於任意$k>0$,直線$y=kx+a$ 與曲線$y=f(x)$有唯一的公共點.
注:無非就是$b\ge3$或者$b\le3$，從影象中看若$b\ge3$，可以取$b$足夠大，顯然當$a>0$時可以有兩個交點,故只有乙個交點時$b\le3$