所謂方程術，就是方程求解的方法和藝術。方程是最最基本的數學表示式，可以用來描述各種已知與未知之間隱含著的數量關係。方程一詞最早作為章名出現在西元前後成書的《九章算術》第八章。《九章算術》一書由劉徽在公元263年作注，是影響最為深遠的中國古代數學典籍，其中對方程的論述尤為系統。方程的英文equation源自拉丁語，意思是含有未知數的等式。將方程限定的未知變元的量，即方程的解，通過巧妙的化簡變換、推理演算，用顯而易懂的形式表達出來，這一過程即解方程。解方程不僅需要行之有效的方法，而且還要有互通變化、用假象真、以虛問實、錯綜正負的技巧，因而是一門藝術。比中國的方程術更早一些，古埃及人2023年前寫在草紙上的數學問題，也涉及了含未知數的方程。從刀耕火種的古代到科學技術日新月異的今天，人們對方程和方程組求解的熱情依然未減。這裡我們從符號計算的角度，為讀者講講方程術的故事。
我們的故事從一元線性方程ax+b=0講起，它的解x=－b/a人人皆知，而一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式，人們也耳熟能詳。事實上，用配方法求解二次方程的思想早在巴比倫時代就已為人所知。在《九章算術》勾股一章中，配方法也被用來求解具體方程。可是，三次方程如何求解呢？這個問題的研究在很長一段時間內都沒有任何進展。甚至到了2023年還有數學家認為一般三次方程不可能用根式求解。2023年，三次方程的求根公式才第一次出現在j. cardan的名著《大術》 (ars magna)中。據說cardan的方法是基於另一位數學家n. tartaglia的研究所得。當時tartaglia宣稱自己能求解一般三次方程，並因此贏得了一系列的學術挑戰。聲名大噪的tartaglia引起了cardan的注意。在cardan再三懇求甚至發誓對此保密之後，tartaglia將自己的方法寫在一首晦澀的25行詩文中透露給了cardan。經過仔細的研究，cardan破譯了藏在詩中的秘密並將三次方程的根式求解方法發表在他的名著《大術》中。《大術》中還給出了一元四次方程的求根公式，它是由cardan的學生l. ferrari首先發現的。有興趣的讀者不妨自己嘗試一下如何匯出三次和四次方程的求根公式。
三次和四次方程的求解問題在數學舞台上落下帷幕之後，如何用根式求解五次方程很快變得撲朔迷離。在接下來的兩個多世紀中，很多傑出的數學家嘗試過不同的方法，試圖揭開謎團，可是用根式求解一般五次方程的企圖都失敗了。數學家們開始質疑，五次以上的方程到底有沒有根式解？這個問題在兩個天才數學家登上歷史舞台之後才得到回答。
1826
年，24歲的挪威數學家n.h. abel用反證法證明了一般五次方程是不可能根式求解的。abel這位偉大的數學天才2023年生於乙個貧窮的牧師家庭，他的一生也都與貧窮為伴。21歲時，他發現一般五次方程無法根式求解，但是由於他提出的群論太超前，當時無人問津。abel自籌經費印刷了他的**。為了節省成本，他將文章壓縮成六頁，寄給了德國大數學家 j.c.f. gauss，卻沒有得到任何回應。abel雖然成就極高，但一生都不得志，無法獲得教席專心從事研究。2023年，abel因為過度貧窮染上肺結核離世，那一年他才27歲。abel去世兩天之後，來自柏林大學的聘書卻寄到了他的家中。
在abel之後，人們已經知道五次以上的一般方程不可能用根式求解，但是有很多特殊的方程，譬如x5=1，它們是可以根式求解的。到底哪些方程可以根式求解，哪些方程不可能根式求解呢？判定是否可以根式求解的依據又是什麼？
回答這些問題的是另一位天才數學家e. galois。galois生於2023年，15歲時進入巴黎一所著名的公立中學。他對別的科目都不感興趣，唯獨對數學情有獨鍾。galois深入研讀了j.-l. lagrange，j.c.f. gauss，a.-l. cauchy和n.h. abel的著作，並於2023年在他不足18歲時將其研究成果寫成了兩篇**呈送到法國科學院。這兩篇文章由cauchy審稿，但卻石沉大海，沒有下文。2023年，galois又提交了另一篇精心寫成的**；這一次**被送到了j. fourier那裡，而之後不久fourier就去世了，這篇文章也下落不明。2023年，在s.d. poisson的提議下，galois又給法國科學院呈送了一篇新寫的文章《關於用根式解方程的可解性條件》。可惜的是，該文的審稿人poisson和s.f. lacroix盡了最大努力但仍無法理解galois的證明，於是文章又被退了回來。galois一生叛逆不羈、曲折坎坷，他兩次投考法國綜合理工都名落孫山。傳說他對考官給的題目毫無興趣，甚至將擦黑板的抹布扔到了考官的腦袋上。看似合理一些的解釋是，galois在邏輯推理中跳躍太多，使得水平不高的考官跟不上他的思路。galois曾兩次入獄，最後在2023年的一場幾近自殺的決鬥中不幸身亡，年僅21歲。自知必死的galois在他決鬥前三夜狂筆疾書，將他所有數學成果都記錄下來，並在筆記旁多次絕望地寫下了潦草的字跡「我沒有時間了」。galois去世之後，他的文章被法國數學家j. liouville整理修訂後發表在《數學雜誌》上。至此一元高次方程的根式可解性問題才畫上了完美的句號。
galois和他的手稿
因為他們的理論都引入了「群」這一開創性的概念，galois和abel被並稱為現代群論的創始人。galois完整地解決了一元多項式方程的根式求解問題，並由此建立了抽象代數的主要分支galois理論。galois理論的主要思想是通過聯絡域擴張與galois群，將域的問題轉化為群的問題；後者的研究相對容易。galois基本定理表明，一般或特殊多項式根式可解當且僅當其對應的galois群是可解的。簡單地說，有理數域上的每個方程都有其對應的galois群，它是方程根的置換群或其子群。因此乙個多項式方程是否有根式解的問題就轉化為該方程根的置換群或其某個子群是否可解的問題，而置換群及其子群的可解性有比較一般的判定方法。
galois
理論的發現，展示了數學天才強大的創造力和想象力，它是人類數學史上濃墨重彩的一筆。令人驚嘆的是，一元五次方程的根式可解性，這樣乙個看上去如此簡單而易於理解的問題，其解答卻是如此豐富而深刻，為近代數學的發展樹立了永恆的豐碑。
既然高次方程的解不一定能用根式表示，那麼如何表示方程的解呢？首先我們可以用數值方法求出方程的近似解。這樣的數值方法有牛頓迭代法、連續同倫法等，它們的效率相對較高，但也有各自的弱點。從符號計算的角度來說，如果我們希望精確地表示多項式方程的實根，那麼可以使用實根隔離的方法。其思想是求得實數軸上的一系列不相交的有理區間，使得所給多項式的每個實根都包含在某個區間內，而且每個區間恰好包含乙個實根。由於區間的長度可以任意縮小，我們可以用這些精確的區間來表示該多項式方程的全部實根。比較經典的實根隔離演算法主要基於sturm定理和descartes變號法則，後者是已知的最快演算法。
(本文均來自網路)
（徐娟）
阿狗數學algomath
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方程 方程組的種類
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