1 問題的提出
1)同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然後每人從中拿一張別人送出的賀年卡．則四張賀年卡的不同分配方式有[ ]
a．6種 b．9種 c．11種 d．23種
2)有5個客人參加宴會，他們把帽子放在衣帽寄放室內，宴會結束後每人戴了一頂帽子回家．回家後，他們的妻子都發現他們戴了別人的帽子．問5個客人都不戴自己帽子的戴法有多少種？
上述兩個問題，實質上是完全一樣的．是被著名數學家尤拉(leonhard euler，1707－1783)稱為「組合數論的乙個妙題」的「裝錯信封問題」的兩個特例．「裝錯信封問題」是由當時最有名的數學家約翰•伯努利(johann bernoulli，1667－1748)的兒子丹尼爾•伯努利(danidbernoulli，1700－1782)提出來的，大意如下：
乙個人寫了n封不同的信及相應的n個不同的信封，他把這n封信都裝錯了信封，問都裝錯信封的裝法有多少種？
2 建立數學模型
「裝錯信封問題」及兩個特例，其實就是n個不同元素的一類特殊排列問題，本文試就給出這類問題的數學模型及求解公式．為方便，我們先把n個不同的元素及相應的位置都編上序號1，2，…，n，並且約定：在n個不同元素的排列中
1° 若編號為i(i=1，2，…，n)的元素排在第i個位置，則稱元素i在原位；否則稱元素i不在原位．
2° 若所有的元素都不在原位，則稱這種排列為n個不同元素的乙個錯排(若每個元素都在原位則稱為序排)．
按照上面約定，「裝錯信封問題」即為n個不同元素的錯排問題，則可構建「裝錯信封問題」的數學模型為在n個不同元素的全排列中，有多少種不同的錯排？
3 模型求解
應用集合中的容斥原理，我們就可得到「裝錯信封問題」的數學模型的求解公式．
設i表示n個不同元素的全排列的集合
ai(i=1，2，…，n)為元素i在原位的排列的集合．
ai∩aj(1≤i＜j≤n)為元素i與j在原位的排列的集合．
…… ……
a1∩a2∩…∩an為n個元素的序排的集合．
則它們的排列數(即各個集合中元素的個數)分別為
|i|=n！
|ai|=(n－1)！
|ai∩aj|=(n－2)！
…… ……
|a1∩a2∩…∩an|=(n－n)！=0！
所以，根據容斥原理即得「裝錯信封問題」的數學模型的求解公式(即n個不同元素的錯排數)為
4 應用舉例
乙個元素的錯排數顯然為0，二個不同元素的錯排數為1，三個不同元素的錯排數為2，均可由公式 驗證，由公式 還可求得四個不同元素的錯排數為
五個不同元素的錯排數為
則本文開頭的問題1)共有9種不同的分配方式，故選(b)．問題2)共有44種不同的戴法，下面再舉幾例說明公式 的應用．
例1設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現將這五個球投放入五個盒內，要求每個盒內投放乙個球，並且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法的總數為
[ ]
a．20種 b．30種
c．60種 d．120種
解 本題實質上是三個元素的錯排問題，但由於題中未指明是哪三個元素進行的錯排，故本題可分兩步求解．
第二步，對已選出的三個元素進行錯排，有2種．
例2 某省決定對所轄8個城市的黨政一把手進行任職交流，要求把每個幹部都調到另乙個城市去擔任相應的職務．問共有多少種不同的幹部調配方案？
解 實質上本題即為8個不同元素的錯排問題，一種幹部調配方法對應於8個不同元素的乙個錯排．故由公式 可求得不同的幹部調配方案數為
總結 : 只要我們知道是裝錯信封問題.只要記住答案就行..比如4個的有9種,5個的有44種.
參***：
瑞士數學家尤拉按一般情況給出了乙個遞推公式：
用ａ、ｂ、ｃ……表示寫著ｎ位友人名字的信封，ａ、ｂ、ｃ……表示ｎ份相應的寫好的信紙。把錯裝的總數為記作 f(n) 。假設把ａ錯裝進ｂ裡了，包含著這個錯誤的一切錯裝法分兩類：
（１）ｂ裝入ａ裡，這時每種錯裝的其餘部分都與ａ、ｂ、ａ、ｂ無關，應有 f(n-2) 種錯裝法。
（２）ｂ裝入ａ、ｂ之外的乙個信封，這時的裝信工作實際是把（除ａ之外的）n-1份信紙ｂ、ｃ……裝入（除ｂ以外的）ｎ－１個信封ａ、ｃ……，顯然這時裝錯的方法有 f(n-1) 種。
總之在ａ裝入ｂ的錯誤之下，共有錯裝法 f(n-2)+f(n-1) 種。ａ裝入ｃ，裝入ｄ……的ｎ－２種錯誤之下，同樣都有 f(n-2)+f(n-1) 種錯裝法，因此 :
f(n)=(n-1)
這是遞推公式，令ｎ＝１、２、３、４、５逐個推算就能解答蒙摩的問題。
f(1)= 0， f (2)= 1， f (3)= 2， f (4)= 9， f (5)=44。
答案是４４種。一般地，當ｎ＞２時
f(n)=
直接用遞推公式，我試過了，推不出；
直接用容斥原理就可以了：
f(n)=n!(1/1! - 1/2! + 1/3! +…+ (-1)^(n-1)/n!)
有n封不同的信裝入n個不同的信封,沒有一封裝對的裝法有多少種?
用遞推的方法算到a(n)=(n-1)*(a(n-1)+a(n-2))
然後得到a(n)=(-1)^n*a(n,0)+(-1)^(n-1)*a(n,1)+……(-1)^1*a(n,n-1)
算到這個類似與二項式的東西後就算不下去了
我想知道a(n)=多少?
能不能用我這個方法接著算下去?
不能的話用正確的方法怎麼算呀?
問題補充：不是說a(n)=(n-1)*(a(n-1)+a(n-2)) 到a(n)=(-1)^n*a(n,0)+(-1)^(n-1)*a(n,1)+……(-1)^1*a(n,n-1) 這步不會
我想知道算到a(n)=(-1)^n*a(n,0)+(-1)^(n-1)*a(n,1)+……(-1)^1*a(n,n-1)後再怎麼把a(n)化到最簡
用a1,a2,……,an表示以下事件：ak表示第k封信放在本來的信封上。求出a1∪a2∪……∪an的種類 然後用總的減去它就是所需答案了
那麼，根據容斥原理，有：
p(a1∪a2∪……∪an)＝
p(a1)+p(a2)+……+p(an)-(p(a1∩a2)+p(a1∩a3)+……+p(a(n-1)∩an))(注意：求和取遍所有不同的ai∩aj)+(p(a1∩a2∩a3)+p(a1∩a2∩a4)+……+p(a(n-2)∩p(a(n-1))∩p(an)))(注意：求和取遍所有不同的ai∩aj∩ak)＋……+(-1)^(n-1)p(a1∩a2∩……∩an)
=(n-1)!*n/n!-(n-2)!/n!*c_n^2+(n-3)!/n!*c_n^3+……+(-1)^(n-1)/n!
=1-1/2！+1/3！-……+(-1)^(n-1)/n！
即至少有一對裝對的概率就是1-1/2！+1/3！-……+(-1)^(n-1)/n！
當n無窮大時
即=1/e
你已經化到最簡了
不用再化下去的~！
a(n)=(n-1)*[a(n-1)+a(n-2)] a1=0 a2=1
算到這一步是對的.
即 a(n+1)=n*[a(n)+a(n-1)]
然後 令: b(n)=a(n)/n!
(n+1)b(n+1)=nb(n)+b(n-1)
故，b(n+1)-b(n)=[b(n)-b(n-1)]/(n+1)
………………………………………………
b(n)-b(n-1)=[b(n-1)-b(n-2)]/n
b(n-1)-b(n-2)=[b(n-2)-b(n-3)]/(n-1)
… …
b(4)-b(3)=[b(3)-b(2)]/4
b(3)-b(2)=[b(2)-b(1)]/3
所以: b(n)-b(n-1)=2[b(2)-b(1)]/n!
將這些式子累加起來
可以得到a(n)=n!*(1/2!-1/3!+1/4!……+(-1)^n*1/n!)。
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