在演算法分析中，當乙個演算法中包含遞迴呼叫時，其時間複雜度的分析會轉化為乙個遞迴方程求解。實際上，這個問題是數學上求解漸近階的問題，而遞迴方程的形式多種多樣，其求解方法也是不一而足，比較常用的有以下四種方法：
(1)代入法(substitution method)
代入法的基本步驟是先推測遞迴方程的顯式解，然後用數學歸納法來驗證該解是否合理。
(2)迭代法(iteration method)
迭代法的基本步驟是迭代地展開遞迴方程的右端，使之成為乙個非遞迴的和式，然後通過對和式的估計來達到對方程左端即方程的解的估計。
(3)套用公式法(master method)
這個方法針對形如「t(n) = at(n/b) +f(n)」的遞迴方程。這種遞迴方程是分治法的時間複雜性所滿足的遞迴關係，即乙個規模為n的問題被分成規模均為n/b的a個子問題，遞迴地求解這a個子問題，然後通過對這a個子間題的解的綜合，得到原問題的解。
(4)差分方程法(difference formula method)
可以將某些遞迴方程看成差分方程，通過解差分方程的方法來解遞迴方程，然後對解作出漸近階估計。
下面就以上方法給出一些例子說明。
一、代入法
大整數乘法計算時間的遞迴方程為：t(n) = 4t(n/2) + o(n)，其中t(1) = o(1)，我們猜測乙個解t(n) = o(n2)，根據符號o的定義，對n>n0，有t(n) < cn2 - eo(2n)（注意，這裡減去o(2n)，因其是低階項，不會影響到n足夠大時的漸近性），把這個解代入遞迴方程，得到：
t(n) = 4t(n/2) + o(n)
≤ 4c(n/2)2 - eo(2n/2)) + o(n)
= cn2 - eo(n) + o(n)
≤ cn2
其中，c為正常數，e取1，上式符合 t(n)≤cn2 的定義，則可認為o(n2)是t(n)的乙個解，再用數學歸納法加以證明。
二、迭代法
某演算法的計算時間為：t(n) = 3t(n/4) + o(n)，其中t(1) = o(1)，迭代兩次可將右端展開為：
t(n) = 3t(n/4) + o(n)
= o(n) + 3( o(n/4) + 3t(n/42) )
= o(n) + 3( o(n/4) + 3( o(n/42) + 3t(n/43) ) )
從上式可以看出，這是乙個遞迴方程，我們可以寫出迭代i次後的方程：
t(n) = o(n) + 3( o(n/4) + 3( o(n/42) + ... + 3( n/4i + 3t(n/4i+1) ) ) )
當n/4i+1=1時，t(n/4i+1)=1，則
t(n) = n + (3/4) + (32/42)n + ... + (3i/4i)n + (3i+1)t(1)
< 4n + 3i+1
而由n/4i+1=1可知，i4n，從而
3i+1 ≤ 3log4n+1 = 3log3n*log43+1 = 3nlog43
代入得：
t(n) < 4n + 3nlog43，即t(n) = o(n)。
三、套用公式法
這個方法為估計形如：
t(n) = at(n/b) + f(n)
其中，a≥1和b≥1，均為常數，f(n)是乙個確定的正函式。在f(n)的三類情況下，我們有t(n)的漸近估計式：
1.若對於某常數ε>0，有f(n) = o(nlogba-ε)，則t(n) = o(nlogba)
2.若f(n) = o(nlogba)，則t(n) = o(nlogba*logn)
3.若f(n) = o(nlogba+ε)，且對於某常數c>1和所有充分大的正整數n，有af(n/b)≤cf(n)，則t(n)=o(f(n))。
設t(n) = 4t(n/2) + n，則a = 4，b = 2，f(n) = n，計算得出nlogba = nlog24 = n2，而f(n) = n = o(n2-ε)，此時ε= 1，根據第1種情況，我們得到t(n) = o(n2)。
這裡涉及的三類情況，都是拿f(n)與nlogba作比較，而遞迴方程解的漸近階由這兩個函式中的較大者決定。在第一類情況下，函式nlogba較大，則t(n)=o(nlogba)；在第三類情況下，函式f(n)較大，則t(n)=o(f (n))；在第二類情況下，兩個函式一樣大，則t(n)=o(nlogba*logn)，即以n的對數作為因子乘上f(n)與t(n)的同階。
但上述三類情況並沒有覆蓋所有可能的f(n)。在第一類情況和第二類情況之間有乙個間隙：f(n)小於但不是多項式地小於nlogba，第二類與第三類之間也存在這種情況，此時公式法不適用。
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運算量n！
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nlog2（n）
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