f
(i,j
)=⎧⎩
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪0(i
=0∩j
=0)−
∞(i=
0∩j>0)
f(i−
1,j)
(i>0∪
jmax(
f(i−
1,j)
,f(i
−1,j
−wi)
+vi)
(i>0∪
j>wi
)
那麼我們求的值是什麼呢？ 回想f的定義，最終的答案是揹包要裝的物品價值最大。那麼答案應該是max (0<=i<=n) 注意這裡i可以等於0——如果揹包一件物品都容納不了呢？
至此我們的問題得到了解答。分析下複雜度，我們的f第一維顯然只能
到n，第二維能到多大呢？最大也就是揹包的容量，再大沒意義，全是-∞了。那麼我們的空盡複雜度是o(n * m),我們求這些值的時候，每個值最多隻從之前求的兩個值比較得到結果，所以時間複雜度也是o(n * m)。前面提到的列舉演算法時間複雜度是o(2^n),雖然我們不能得出動態規劃演算法更快的結論，但通常認為m不太大。
回到老問題，我們如何得到具體選出哪些物品？慣用伎倆了，看f(i,j)到底是由f(i-1,j)得到的，還是由, f(i-1,j - wi) + vi得到的，從最終結果倒推回去，得到乙個最優解。
優化？我們看一下這個遞推式子核心就是f(i,j) = max(f(i – 1, j) , f(i-1,j - wi) + vi), 看一下f(i,*)只與f(i-1,*)相關，再仔細看看我們的第維j，只和更小的值相關，我們可以省掉一維i，然後倒著迴圈j,用舊的值更新新的值，這時f一部分是舊的值f(i-1,*)，一部分是新的值f(i,*)。更具體地說小於j地是舊值，其餘是新值。
核心偽**：
f(0) = 0
f(1..m) = -∞
for i = 1 to n do
for j = m downto wi do
f(j) = max(f(j), f(j - wi))
endfor
endfor
所求結果是max
注意我們迴圈j只到wi，因為再小的j會導致我們無法選擇第i件物品，這時我們直接使用不用第i件物品的舊值就好啦。簡單吧？
那麼現在，時間複雜度時不變的，空間複雜度降低o(m)了。
們嘗試換一種狀態表示？ 我們令f(i,j)表示決定了前i件物品，總重量不超過j時能獲得的最大價值。仔細想想遞推式是不變的，那麼初值呢？如果初值不變，f就沒變化了……i＝ 0時，總重量時0，又因為0不超過任何整數，所以根據定義初值是f(0,*) = 0
那麼最終結果呢？根據定義，最終結果是f(n,m)而沒有必要再一串數里取最大了。可見即使遞推式相同，初值不同也會定義不同的函式，請不要忽略初值的作用啊。同樣我們可以優化掉第一維。
核心偽**：
初值f(0..m) = 0
for i = 1 to n do
for j = m downto wi do
f(j) = max(f(j), f(j - wi))
endfor
endfor
再換一種狀態表示？剛才講了，我們有重量和價值兩個指標，那麼我們令f(i,j)是決定了前i件物品，總價值恰好是j時的最小重量，那麼經過類似的分析，我們可以寫出這樣的初值和遞推式： f
(i,j
)=⎧⎩
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪0(i
=0∩j
=0)∞
(i=0
∩j>0)
f(i−
1,j)
(i>0∪
j)max
(f(i
−1,j
),f(
i−1,
j−wi
)+vi
)(i>0∪
j>vi
)
那結果是什麼呢？
根據定義結果是max, 同樣我們可以優化掉一維的空間複雜度。那麼時間複雜度是什麼呢？ o(n * sum(vi)) sum(vi)表示所有vi的和，也是第二維有意義的大小。
同樣我們也可以重新定義狀態為f(i,j)是決定了前i件物品，總價值不超過j時的最小重量，則遞推式不變，初值
f(0,1.. sum(vi))) = 0
最終的結果也一樣……還是要找到max。
可見，動態規劃問題狀態表示十分靈活，不同的狀態表示會有不同的解決方法。努力取發現吧！
在n件物品取出若干件放在容量為w的揹包裡，每件物品的體積為w1，w2……wn（wi為整數），與之相對應的價值為p1,p2……pn（pi為整數）。求揹包能夠容納的最大價值。 f
輸入第1行，2個整數，n和w中間用空格隔開。n為物品的數量，w為揹包的容量。(1 <= n <= 100，1 <= w <= 10000)
第2 - n + 1行，每行2個整數，wi和pi，分別是物品的體積和物品的價值。(1 <= wi, pi <= 10000)
輸出輸出可以容納的最大價值。
輸入示例
3 62 5
3 84 9
輸出示例14
#include#include#includeusing namespace std;
int dp[102][10010];
int w[102];
int p[102];
int main()
memset(dp,0,sizeof(dp));
for (int i=1;i<=n;i++)
{ for (int j=0;j
揹包問題 01揹包問題
n個物品，總體積是v，每個物品的體積的vi，每個物品的最大價值是wi，在不超過v的體積下求最大價值 eg揹包容積為 5 物品數量為 4 物品的體積分別為 物品的價值分別為 思路定義乙個二位陣列int f new int n 1 v 1 f i j 就表示在1 i個物品中選取體積小於v的情況的最大價值...
揹包問題 01揹包
有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的重量是c i 價值是w i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。01揹包中的 01 就是一種物品只有1件，你可以選擇放進去揹包即1，也可以選擇不放入揹包中即0。include include using namespace std const int ...
揹包問題（01揹包）
1085 揹包問題 在n件物品取出若干件放在容量為w的揹包裡，每件物品的體積為w1，w2 wn wi為整數 與之相對應的價值為p1,p2 pn pi為整數 求揹包能夠容納的最大價值。input 第1行，2個整數，n和w中間用空格隔開。n為物品的數量，w為揹包的容量。1 n 100，1 w 10000...