把四元數看做乙個標量和乙個3維向量的組合。實部w表示標量，虛部表示向量標記為v或三個單獨的分量（x,y,z）,則四元數可以記為[ w, v]或[ w，（x,y,z）]也可以計為[v,w]或[（x,y,z）,w]。
任意乙個四元數可以表示為：
q=[x,y,z,w]=xi+yj+zk+w
其中，虛部規則
i^2=j^2=k^2=ijk=−1,
ij=k, ji=-k，
jk=i， kj=-i，
ki=j， ik=-j，
注意ij=k，但是ji≠k。四元數的長度（模長）表示為∥q∥=sqrt(x^2+y^2+z^2+w^2)，通常將四元數規一化(normalized)，即：
q=[x/∥q∥, y/∥q∥, z/∥q∥; w/∥q∥]
四元數本質上是複數（complex number），複數就存在乙個共軛的概念。若兩個複數的實部相等，虛部互為相反數，則稱這兩個複數互為共軛（conjugate），q的共軛複數q∗表示為：q∗=[−x,−y,−z,w]
四元數的逆
q^−1=q∗/∥q∥^2
單位四元數摸的平方==1，它的逆：
q^−1=q∗
四元數間的運算，遵循複數間運算法則。
乘法乘法是把qa=[sa,va]=[sa,xa,ya,za]
的每一項與qb=[sb,vb]=[sb,xb,yb,zb]每項相乘，最後相加，虛部要按照虛部規則進行：
qa qb=sa sb − xa xb − ya yb − za zb
+(sa xb + xa sb + ya zb − za yb)i
+(sa yb − xa zb + ya sb + za xb)j
+(sa zb + xa yb − xb ya + za sb)k
雖然稍為複雜，但形式上也是整齊有序的。如果寫成向量形式並利用內外積運算，該表達會更加簡潔：
qa qb=[sa sb−va⋅vb+ sa vb+sb va+va×vb]
加深記憶換個代號再重複一遍
例如有q1=[x1,y1,z1,w1];q2=[x2,y2,z2,w2]
則q1 * q2 =
(w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2) +
(w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2) i +
(w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x2) j +
(w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2) k
由於q = w + x i + y j + z k中可以分為純量w與向量x i + y j + z k，所以為了方便表示，將q表示為(s, v)，其中s表示純量w，v表示向量x i + y j + z k，所以四元數乘法又可以表示為：
q1 * q2 = (s1 + v1)*(s2 + v2) = s1*s2 - v1.v2 + v1xv2 + s1*v2 + s2*v1
用四元數表示旋轉
三維空間上任意的伸縮旋轉變換可用四元數的乘積來表示。
如果已知乙個三維空間的伸縮旋轉的轉軸u=[α, β, γ]、旋轉角度θ和伸縮比例 t，來求相應的四元數.
旋轉的軸是(α, β, γ)已經歸一化，即（ α^2 + β^2 + γ^2 = 1），
q=sqrt（t） [cos(θ/2); α sin(θ/2), β sin(θ/2), γ sin(θ/2)]
一般t==1時，即放縮比例為1時
q = [cos(θ/2); α sin(θ/2), β sin(θ/2), γ sin(θ/2)]
相反，給定乙個四元數q=[x,y,z,w],∥q∥=1，求出它表示的旋轉軸和角度，如下所示：
u=(x/sqrt(1−w^2), y/sqrt(1−w^2), z/sqrt(1−w^2) )
θ=2⋅acos(w)
其中，若w=±1，則q表示繞著任意軸旋轉0度。
設存在乙個向量u=(ux,uy,uz)和乙個四元數q=[v,θ],∥q∥=1,v=(α, β, γ)，把向量u進行q旋轉變換，得到新向量u1，可以表示為：
u1=q[ux,uy,uz,0]q∗
u1=[α, β, γ,θ][ux,uy,uz,0][-α, -β, -γ,θ]
若向量u2進行四元數q的變換後得到向量u，則u2（u對q的逆變換）可以表示為：
u2=q∗[ux,uy,uz,0]q
u2=[-α, -β, -γ,θ][ux,uy,uz,0][α, β, γ,θ]
四元數的插值
這裡的插值指的是球面線性插值。
設t是乙個在0到1之間的變數。我們想要基於t求q1到q2之間插值後四元數q。它的公式是：
q3 = (sin((1-t)a)/sin(a))q1 + (sin((ta)/sin(a))q2)
q = q3/|q3|，即單位化
四元數到旋轉矩陣的轉換
設四元數q=q0+q1i+q2j+q3k
，對應的旋轉矩陣r
為：r=
|1−2q2^2−2q3^2 2q1q2+2q0q3 2q1q3−2q0q2|
|2q1q2−2q0q3 1−2q1^2−2q3^2 2q2q3+2q0q1|
|2q1q3+2q0q2 2q2q3−2q0q1 1−2q1^2−2q2^2|
反之，由旋轉矩陣到四元數的轉換如下。假設矩陣為r=,i,j∈[1,2,3]
，其對應的四元數q由下式給出：
q0=sqrt(tr(r)+1)/2,
q1=(m23−m32)/4q0,
q2=(m31−m13)/4q0,
q3=(m12−m21)/4q0
值得一提的是，由於q和−q
表示同乙個旋轉，事實上乙個r的四元數表示並不是惟一的,存在其他三種與上式類似的計算方式。實際程式設計中，當q0接近0時，其餘三個分量會非常大，導致解不穩定，此時會考慮使用剩下的幾種方式計算。
尤拉角到四元數：
給定乙個尤拉旋轉(x, y, z)（即分別繞x軸、y軸和z軸旋轉x、y、z度），則對應的四元數為：
x = sin(y/2)sin(z/2)cos(x/2)+cos(y/2)cos(z/2)sin(x/2)
y = sin(y/2)cos(z/2)cos(x/2)+cos(y/2)sin(z/2)sin(x/2)
z = cos(y/2)sin(z/2)cos(x/2)-sin(y/2)cos(z/2)sin(x/2)
w = cos(y/2)cos(z/2)cos(x/2)-sin(y/2)sin(z/2)sin(x/2)
q = ((x, y, z), w)
參考
ROS四元數初探
ros四元數初探 把四元數看做乙個標量和乙個3維向量的組合。實部w表示標量，虛部表示向量標記為v或三個單獨的分量 x,y,z 則四元數可以記為 w,v 或 w，x,y,z 也可以計為 v,w 或 x,y,z w 任意乙個四元數可以表示為 q x,y,z,w xi yj zk w 其中，虛部規則 i ...
四元數的學習筆記
在平時的開發中，經常會遇到旋轉的操作，也因此經常會接觸到四元數的相關概念。但是，這個概念說難不難，但是理解起來也挺費勁的。我經常會使用到四元數，但是每次使用時都會查資料，當時理解了概念，但是過兩天又忘記了，當再次使用的時候，又要重新查資料。挺蛋疼。於是就寫一篇部落格，關於四元數，算是加強印象。先放一...
四元數計算要防止低階錯誤
在導航程式，特別是慣性導航程式中，常常會用到四元數的更新計算。四元數更新的公式為 q 0 q 0 0.5 dt wx q 1 wy q 2 wz q 3 q 1 q 1 0.5 dt wx q 0 wy q 3 wz q 2 q 2 q 2 0.5 dt wx q 3 wy q 0 wz q 1 q...