題意：有n個物品，揹包總容量為v，第 i 個物品的體積為v
iv_i
vi，價值為w
iw_i
wi，求裝入揹包的最大價值
思路：
狀態表示f[i][j]= 集合：所有只考慮前i種物品且總體積不超過j的方案的集合\\ 屬性：取其中價值最大的方案 \end}\\ 狀態計算：找最後乙個不同點，對第 i 個物品取或者不取 \end
⎩⎪⎨⎪⎧
狀態表示
f[i]
[j]=
printf
("%d\n"
,dp[n]
[m])
;return0;
}空間優化
#include
#include
using namespace std;
const
int maxn=
1010
;int n,m,w[maxn]
,v[maxn]
,f[maxn]
;int
main()
狀態表示f[i][j]= 集合：所有只考慮前i種物品且總體積不超過j的方案的集合\\ 屬性：取其中價值最大的方案 \end}\\ 狀態計算：找最後乙個不同點，對第 i 個物品取0個，1個，2個 \end
⎩⎪⎨⎪⎧
狀態表示
f[i]
[j]=
} cout<[m]<<
"\n"
;return0;
}優化空間
#include .h>
using namespace std;
const
int maxn=
1010
;int n,m,w[maxn]
,v[maxn]
,f[maxn]
;int
main()
狀態表示f[i][j]= 集合：所有只考慮前i種物品且總體積不超過j的方案的集合\\ 屬性：取其中價值最大的方案 \end}\\ 狀態計算：找最後乙個不同點，對第 i 個物品有 [0,s]種取法 \end
⎩⎪⎨⎪⎧
狀態表示
f[i]
[j]=
思路：狀態設定:f[i
][j]
f[i][j]
f[i][j
]表示所有前i個物品總體積不超過 j 的方案的集合，然後取乙個價值最大的方案
採用了二進位制優化，因為有 s
ss 件物品，用二進位制可以表示 s
ss 中的任意乙個數
#include .h>
using namespace std;
int n,m,w,v,s;
int f[
2010];
vectorint,
int>
> vec;
intmain()
);}if
(s>0)
vec.
push_back()
;}for(auto i : vec)
for(
int j=m;j>=i.first;
--j)
f[j]
=max
(f[j]
,f[j-i.first]
+i.second)
;printf
("%d\n"
,f[m]);
return0;
}
is_i
si件體積為v
iv_i
vi，價值為w
iw_i
wi，求裝入揹包的最大價值
思路：狀態設定還是f[i
][j]
f[i][j]
f[i][j
]表示前i個物品總體積不超過 j 的最大價值
分析：這裡n範圍在1000，v的範圍在20000，s的範圍在20000以內。如果還是採用二進位制優化的話。時間複雜度是：1000×l
og2(
20000)×
20000
1000\times log_2(20000)\times 20000
1000×l
og2
(200
00)×
2000
0，大約是3e8，會超時。所以可以採用單調佇列優化的方法
優化思路：我們發現每乙個f[i
][j]
f[i][j]
f[i][j
]其實都是從f[i
−1][
j−w]
、f[i
−1][
j−2∗
w]、…
、f[i
−1][
j−s∗
w]
f[i-1][j-w]、f[i-1][j-2*w]、\dots、f[i-1][j-s*w]
f[i−1]
[j−w
]、f[
i−1]
[j−2
∗w]、
…、f[
i−1]
[j−s
∗w]轉移過來的，因此我們可以根據餘數 r 分組，每一組是：r、r
+w、r
+2w、
…r、r+w、r+2w、\dots
r、r+w、
r+2w
、…，維護乙個最大值單調佇列，每次先判斷入隊，然後縮減區間，最後更新 f[j
]f[j]
f[j]
#include .h>
#define ll long
long
using namespace std;
const
int maxn=
2e4+
5,maxm=
1e5+5;
const
int mod=
1e9+
7,inf=
0x7f7f7f7f
;int n,m;
int w[maxn]
,v[maxn]
,s[maxn]
;int q[maxn]
,h,t;
int f[maxn]
,g[maxn]
;int
main()
}}printf
("%d\n"
,f[m]);
return0;
}
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