在訊號與系統中，我們經常會遇到對於乙個訊號s(
t)=cos(ω
t+θ)
，乘上乙個複數ej
ϕ ，即s(
t)∗e
jϕ表示對原訊號s(
t)移動相位
ϕ 。
那麼如何理解乘上乙個ej
ϕ 可以表示相位的移動呢？
這裡需要用到尤拉公式，具體可以參看我另外一篇博文：尤拉公式
cos(ωt
+(θ+
ϕ))=
re=r
e 可以看到，在原訊號上疊加乙個相位
ϕ 相當於在原訊號上乘以乙個複數ej
ϕ ，注意這裡訊號是取的實部。
更進一步，我們在幾何上解釋一下複數與相位(旋轉)的關係。
如下圖所示，橫座標為實部，縱座標為虛部，有兩個單位向量a,
b ，其中a=
ejθ ，那麼向量
b 該如何表示呢？
由尤拉公式ej
θ=cos(θ)
+jsin(θ)
，則a可以表示為
(cos(θ
),sin(θ)
)，這個我們從圖中也可以很輕鬆的得到。由圖中的角度關係，我們可以得到b=
(cos(θ
+ϕ),
sin(θ+
ϕ)) ，寫成複數形式，即b=
ejθe
jϕ=e
j(θ+
ϕ)。可以很明顯的看到，對向量
a 乘上乙個ej
ϕ表示將
a 旋轉角度
ϕ，即相位移動
ϕ 。
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