01揹包問題

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01揹包問題，是用來介紹動態規劃演算法最經典的例子，網上關於01揹包問題的講解也很多，我寫這篇文章力爭做到用最簡單的方式，最少的公式把01揹包問題講解透徹。

f[i,j]表示在前i件物品中選擇若干件放在承重為 j 的揹包中，可以取得的最大價值。

pi表示第i件物品的價值。

決策：為了揹包中物品總價值最大化，第 i件物品應該放入揹包中嗎？

題目描述：

有編號分別為a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重為10的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？

name

weight

value12

3456

78910

a260

6699

1212

151515b

2303

3669

991011c6

5000

6666

61011d

5400

0666

661010e4

6000

6666

666

只要你能通過找規律手工填寫出上面這張表就算理解了01揹包的動態規劃演算法。

首先要明確這張表是至底向上，從左到右生成的。

為了敘述方便，用e2單元格表示e行2列的單元格，這個單元格的意義是用來表示只有物品e時，有個承重為2的揹包，那麼這個揹包的最大價值是0，因為e物品的重量是4，揹包裝不了。

對於d2單元格，表示只有物品e，d時,承重為2的揹包,所能裝入的最大價值，仍然是0，因為物品e,d都不是這個揹包能裝的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

對於承重為8的揹包，a8=15,是怎麼得出的呢？

根據01揹包的狀態轉換方程，需要考察兩個值，

乙個是f[i-1,j],對於這個例子來說就是b8的值9，另乙個是f[i-1,j-wi]+pi；

在這裡，

f[i-1,j]表示我有乙個承重為8的揹包，當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值

f[i-1,j-wi]表示我有乙個承重為6的揹包（等於當前揹包承重減去物品a的重量），當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值

f[i-1,j-wi]就是指單元格b6,值為9，pi指的是a物品的價值，即6

由於f[i-1,j-wi]+pi = 9 + 6 = 15 大於f[i-1,j] = 9，所以物品a應該放入承重為8的揹包

01揹包問題

問題：有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

分析：這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。

用子問題定義狀態：即f[i][v]表示前i件物品恰放入乙個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：

f[i][v]=max

這個方程非常重要，基本上所有跟揹包相關的問題的方程都是由它衍生出來的。所以有必要將它詳細解釋一下：「將前i件物品放入容量為v的揹包中」這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那麼就可以轉化為乙個只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那麼問題就轉化為「前i-1件物品放入容量為v的揹包中」，價值為f[i-1][v]；如果放第i件物品，那麼問題就轉化為「前i-1件物品放入剩下的容量為v-c[i]的揹包中」，此時能獲得的最大價值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i]。

優化：以上方法的時間和空間複雜度均為o(vn)，其中時間複雜度應該已經不能再優化了，但空間複雜度卻可以優化到o。

先考慮上面講的基本思路如何實現，肯定是有乙個主迴圈i=1..n，每次算出來二維陣列f[i][0..v]的所有值。那麼，如果只用乙個陣列 f[0..v]，能不能保證第i次迴圈結束後f[v]中表示的就是我們定義的狀態f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1] [v-c[i]]兩個子問題遞推而來，能否保證在推f[i][v]時（也即在第i次主迴圈中推f[v]時）能夠得到f[i-1][v]和f[i-1] [v-c[i]]的值呢？事實上，這要求在每次主迴圈中我們以v=v..0的順序推f[v]，這樣才能保證推f[v]時f[v-c[i]]儲存的是狀態 f[i-1][v-c[i]]的值。偽**如下：

for i=1..n

for v=v..0

f[v]=max;

/***************01揹包問題******************/

#include using namespace std;

#define inf -65536

const int v=1000;//定義體積的最大值；

const int t=5;//定義商品的數目；

int f[v+1];

//#define empty

int w[t]=;//商品的價值；

int c[t]=;//商品的體積；

int package()

#else//必須裝滿

f[0]=0;

for(int i=1;i<=v;i++)//條件編譯，表示必須儲存滿

#endif // empty

for(int i=0;i=c[i];v--)

}return f[v];

}int main()

{ int temp;

temp=package();

cout《我們看到的求最優解的揹包問題題目中，事實上有兩種不太相同的問法。有的題目要求「恰好裝滿揹包」時的最優解，有的題目則並沒有要求必須把揹包裝滿。一種區別這兩種問法的實現方法是在初始化的時候有所不同。

如果是第一種問法，要求恰好裝滿揹包，那麼在初始化時除了f[0]為0其它f[1..v]均設為-∞，這樣就可以保證最終得到的f[n]是一種恰好裝滿揹包的最優解。

如果並沒有要求必須把揹包裝滿，而是只希望**盡量大，初始化時應該將f[0..v]全部設為0。

為什麼呢？可以這樣理解：初始化的f陣列事實上就是在沒有任何物品可以放入揹包時的合法狀態。如果要求揹包恰好裝滿，那麼此時只有容量為0的揹包可能被價值為0的nothing「恰好裝滿」，其它容量的揹包均沒有合法的解，屬於未定義的狀態，它們的值就都應該是-∞了。如果揹包並非必須被裝滿，那麼任何容量的揹包都有乙個合法解「什麼都不裝」，這個解的價值為0，所以初始時狀態的值也就全部為0了。

01揹包問題

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揹包問題 01揹包

揹包問題（01揹包）

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