最長上公升子串行LIS模板

有兩種演算法複雜度為 o(n＊logn) 和 o(n＾2)

o(n＾2)演算法分析如下：（a［1］...a［n］存的都是輸入的數)

1、對於a［n］來說.由於它是最後乙個數，所以當從a［n］開始查詢時，只存在長度為1的上公升子串行；

2、若從a［n-1］開始查詢.則存在下面的兩種可能性：

(1)若a［n-1］＜ a［n］則存在長度為2的上公升子串行 a［n-1］、a［n］；

(2)若a［n-1］＞ a［n］則存在長度為1的上公升子串行 a［n-1］或者a［n］；

3、一般若從a［t］開始.此時最長上公升子串行應該是按下列方法求出的：

在a［t+1］.a［t+2］… a［n］中.找出乙個比a［t］大的且最長的上公升子串行，作為它的後繼。

4、為演算法上的需要.定義乙個陣列dp[1 … n]記錄最長上公升子串行的長度，則：

dp[1] = 1;

dp[k] = max (dp[i]:1 <= i < k 且 a[i ]< a[k] 且 k != 1) + 1.

模板：

#includeusing namespace std;
#define eps 1e-7
#define clr(x) memset(x, 0, sizeof(x))
#define long long ll
#define double db
#define pi acos(-1.0)
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod=1000000007;
const int maxn = 10000000;
const int dx = ;
const int dy = ;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int main()
dp[i] = tmp + 1;
}printf("%d\n", dp[n]);
}return 0;
}

最長上公升子串行的o(n＊logn)演算法分析如下:

先回顧經典的o(n＾2)的動態規劃演算法，設a[t]表示序列中的第t個數，dp[t]表示從1到t這一段中以t結尾的最長上公升子串行的長度，初始時設dp [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(a))。則有動態規劃方程：dp[t] = max (j = 1, 2, ..., t - 1, 且a[j] < a[t])。

現在，我們仔細考慮計算dp[t]時的情況。假設有兩個元素a[x]和a[y]，滿足

(1)x < y < t

(2)a[x] < a[y] < a[t]

(3)dp[x] = dp[y]

此時，選擇dp[x]和選擇dp[y]都可以得到同樣的dp[t]值，那麼，在最長上公升子串行的這個位置中，應該選擇a[x]還是應該選擇a[y]呢？

很明顯，選擇a[x]比選擇a[y]要好。因為由於條件(2)，在a[x+1] ... a[t-1]這一段中，如果存在a[z]，a[x] < a[z] < a[y]，則與選擇a[y]相比，將會得到更長的上公升子串行。

再根據條件(3)，我們會得到乙個啟示：根據dp的值進行分類。對於dp的每乙個取值k，我們只需要保留滿足dp[t] = k的所有a[t]中的最小值。設d[k]記錄這個值，即d[k] = min (dp[t] = k)。

注意到d的兩個特點：

(1)　d[k]的值是在整個計算過程中是單調不上公升的。

(2)　d的值是有序的，即d[1] < d[2] < d[3] < ... < d[n]。

利用d，我們可以得到另外一種計算最長上公升子串行長度的方法。設當前已經求出的最長上公升子串行長度為len。先判斷a[t]與d[len]。若a [t] > d[len]，則將a[t]接在d[len]後將得到乙個更長的上公升子串行，len = len + 1， d[len] = a [t]；否則，在d[1]..d[len]中，找到最大的j，滿足d[j] < a[t]。令k = j + 1，則有a [t] <= d[k]，將a[t]接在d[j]後將得到乙個更長的上公升子串行，更新d[k] = a[t]。最後，len即為所要求的最長上公升子串行的長度。

在上述演算法中，若使用樸素的順序查詢在d[1]..d[len]查詢，由於共有o(n)個元素需要計算，每次計算時的複雜度是o(n)，則整個演算法的時間複雜度為o(n^2)，與原來的演算法相比沒有任何進步。但是由於d的特點(2)，我們在d中查詢時，可以使用二分查詢高效地完成，則整個演算法的時間複雜度下降為o(nlogn)，有了非常顯著的提高。需要注意的是，d在演算法結束後記錄的並不是乙個符合題意的最長上公升子串行！

模板

#includeusing namespace std;
#define eps 1e-7
#define clr(x) memset(x, 0, sizeof(x))
#define long long ll
#define double db
#define pi acos(-1.0)
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod=1000000007;
const int maxn = 10000000;
const int dx = ;
const int dy = ;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int n, len, j;
int binsearch(int x)
}int main()
printf("%d\n", len);
}return 0;
}

最長上公升子串行LIS模板

最長上公升子串行（LIS）（模板）

最長上公升子串行 LIS 模板

最長上公升子串行 LIS

最長上公升子串行LIS模板

最長上公升子串行（LIS）（模板）

最長上公升子串行 LIS 模板

最長上公升子串行 LIS

相關推薦