01揹包問題

有

n 件物品和乙個容量為

v的揹包。第

i 件物品的體積是ci

，其價值是wi

。求解，在不超過揹包容量情況下，將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品僅有一件。

狀態f[

i,v]

表示前i 件物品中選擇若干件放在容量為

v的揹包中，可以取得的最大價值。

轉移方程f[

i,v]

=max

對於第i 件物品，有放與不放兩種選擇。若選擇不放，f[

i,v]

=f[i

−1,v

]；若選擇放，v−

ci確保有足夠的空間，隨之f[

i,v]

=f[i

−1,v

−ci]

+wi 。

/**
* * author 劉毅（limer）
* date   2017-03-17
* mode   c++
*/#include#includeusing namespace std;
int main()
;  //第i個物品的體積（下標從1開始）
int w[n + 1] = ;   //第i個物品的價值
int f[n + 1][v + 1] = ;         //狀態
for (int i = 1; i <= n; i++)  //對於第i個物品
for (int v = 0; v <= v; v++)
cout << "最大價值是："
<< f[n][v] << endl;  //9
return
0;}

以上方法的時間和空間複雜度均為o(

vn) ，其中時間複雜度應該已經不能再優化了，但空間複雜度卻可以優化到o(

v)。

先考慮上面講的基本思路如何實現，肯定是有乙個主迴圈i ← 1 to n，每次算出來二維陣列f[

i,v]

的所有值。那麼，如果只用乙個陣列f[

v]能不能保證第

i 次迴圈結束後f[

v]中表示的就是我們定義的狀態f[

i,v]

呢？ f[

i,v]

是由f[

i−1,

v]和f[i

−1,v

−ci]

兩個子問題遞推而來，能否保證在推f[

i,v]

時（也即在第

i 次主迴圈中推f[

v]時）能夠取用f[

i−1,

v]和f[i

−1,v

−ci]

的值呢？

事實上，這要求在每次主迴圈中我們以v ← v to c[i]的遞減順序計算f[

v]，這樣才能保證計算f[

v]時f[v

−ci]

儲存的是狀態f[

i−1,

v−ci

] 的值。

優化後的**如下：

/**
* * author 劉毅（limer）
* data   2017-03-17
* mode   c++
*/#include#includeusing namespace std;
int main()
;  //第i個物品的體積（下標從1開始）
int w[n + 1] = ;   //第i個物品的價值
int f[v + 1] = ;                //狀態
for (int i = 1; i <= n; i++)  //對於第i個物品
for (int v = v; v >= c[i]; v--)
f[v] = max(f[v], f[v - c[i]] + w[i]);
cout << "最大價值是："
<< f[v] << endl;  //9
return
0;}

我們看到的求最優解的揹包問題題目中，事實上有兩種不太相同的問法。有的題目要求「恰好裝滿揹包」時的最優解，有的題目則並沒有要求必須把揹包裝滿。這兩種問法的實現方法只是在初始化的時候有所不同。

如果是第一種問法，要求恰好裝滿揹包，那麼在初始化時除了f[0]為0，其它f[1]…f[v]均設為−∞，這樣就可以保證最終得到的f[v]是一種恰好裝滿揹包的最優解。如果並沒有要求必須把揹包裝滿，而是只希望**盡量大，初始化時應該將f[0]…f[v]全部設為0。

這是為什麼呢？可以這樣理解：初始化的f陣列事實上就是在沒有任何物品可以放入揹包時的合法狀態。如果要求揹包恰好裝滿，那麼此時只有容量為0的揹包可以在什麼也不裝且價值為0的情況下被「恰好裝滿」，其它容量的揹包均沒有合法的解，屬於未定義的狀態，應該被賦值為-∞了。如果揹包並非必須被裝滿，那麼任何容量的揹包都有乙個合法解「什麼都不裝」，這個解的價值為0，所以初始時狀態的值也就全部為0了。

[ 1 ] .揹包九講.

文章**我的個人部落格：

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揹包問題（01揹包）

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