輾轉相除法的原理

輾轉相除法又叫歐幾里得輾轉相除法，最早出現在西元前300年古希臘著名數學家歐幾里得的《幾何原本》(第vii卷,命題i和ii)中。而在中國則可以追溯至東漢出現的《九章算術》。而在現代數學中，這應該是屬於數論的部分的。

要想解釋輾轉相除法的原理，需要先知道以下兩點：

一、乙個一般定理：

如果a是任一整數而b是任一大於零的整數，則我們總能找到一整數q，使

a=bq+r

這裡r是滿足不等式0<=r

二、最大公因子的表示方法：

如果整數a和b的最大公因子是d，則表示為d=(a,b) （不知道現在教科書上是怎麼表示的）

給定a和b（a>=b)兩個整數，求最大公因子d。

根據上邊給的定理，可以將a寫成

a=bq+r

輾轉相除法是告訴我們

(a,b)=(b,r)

即a和b的最大公因數和b和r（r是a除以b的餘數）的最大公因數是相等的。

原理：因為對任意同時整除a和b的數u，有

a=su，b=tu，

它也能整除r，因為r=a-bq=su-qtu=(s-qt)u。

反過來每乙個整除b和r的整數v，有

b=s'v , r=t'v

它也能整除a，因為a=bq+r=s'vq+t'v=(s'q+t')v.

因此a和b的每乙個公因子同時也是b和r的乙個公因子，反之亦然。這樣由於a和b的全體公因子集合與b和r的全體公因子集合相同，所以a和b的最大公因子必須等於b和r的最大公因子，這就證明了上邊的等式。即(a,b)=(b,r)。