初等數論筆記

###威爾遜(wilson)定理

當 p為質數時 (p

−1)!

=p−1

=−1(

modp

)

1 和 p−

1之外的數都可以和自己的逆元相乘得到么元 1

其逆定理為，若

p>1且

(p−1

)!=−

1(modp

) ，則

p 為質數

當

p為質數，且

x 與

p互質時 xp

−1=1

(modp)

當 x與

p互質時 xϕ

(p)=

1(modp

)

特別的，當

p 為質數時 xϕ

(p)=

xp−1

=1(modp)

所以尤拉定理是費馬小定理的推廣

大指數降冪： xa

=xa%

(p−1

)(modp

) xa

=xa%

ϕ(p)

+ϕ(p

)(modp

) （這個公式不要求 x與 p互質）

有時候指數特別大，就可以利用費馬小定理降冪

求逆元 a×

ap−2

=1(modp)

amodp

的逆元為 ap

−2modp

莫比烏斯函式：

μ(

1)=1

μ(n)=

0 （n能被完全平方數整除） μ(

n)=(

−1)k

（k為n質因子的個數）

對於任意

n>

1 ，σd

|nμ(

d)=0

證明：

對於任意

n>

1 ，如果其約數

d 能被完全平方數整除，那麼貢獻為 0

考慮不能被整除的約數，其組成為若干個組成

n的質數（設有

k 個）的乘積

那麼，由

0個質數組成的約數有 c0

k 個，1個質數組成的有 c1

k ……

所以，σd|

nμ(d

)=c0

k−c1

k+c2

k...

+(−1

)kck

k 由二項式定理可得，其值為 (1

−1)k

=0

莫比烏斯反演： f(

n)=σ

d|ng

(d)⇔

g(n)

=σd|

nμ(d

)×f(

n/d)

n!

能被素數

p 整除的次數（n!

質因素分解後，其因數

p 的指數） vp

(n!)

=∑i=

1∞⌊n

pi⌋

由於 n

! 是從 1到 n的乘積

所以先計算對答案只能貢獻乙個 p 的數的個數 ⌊n

p⌋然後是能貢獻兩個 p 的數的個數 ⌊n

p2⌋ …… 直至無窮

設 f(x)為 x的約數個數，若 x為反素數，則 1≤

y<

x ，f(

y)x)

反素數的性質：

反素數的質因子必須是從 2開始的連續質數

若反素數 x=

pt11

×pt2

2×pt

33....p

1<

p3...

，則 t1

≥t2≥

t3...

勒讓德符號(legendre symbol)

a 為整數，

p為奇素數，(a

p)為

a 關於

p的勒讓德符號

p)=1

( p∤

a ,

a 是

modp

的二次剩餘) (a

p)=−

1 (p∤

a ，

a 不是

modp

的二次剩餘) (a

p)=0

(p∣a

)尤拉判別準則(euler criterion)

若

p 是奇素數，且 p∤

a， (a

p)=a

p−12

∣a，則準則依舊成立 （等式兩邊都等於 0）

證明：若

a 是

modp

的二次剩餘，即 x2

=a，由費馬小定理 ap

−12=

xp−1

=1=(

ap)(

modp

) 若

a 不是

modp

的二次剩餘，即不存在 x2

=a，由威爾遜定理 (p

−1)!

=−1 ，將

1 到 p−

1的數兩兩配對，使其乘積

modp

等於 a

由於 a

不是 mod

p 的二次剩餘，所以不存在與自身相配對的情況

這樣配對出來，正好有 p−

12對

所以 ap−

12=−

1(modp

)

性質： 若 p

∤a，p∤b

，則 (a

bp)=

(ap)

(bp)

二次同餘方程的解

二次剩餘cipolla演算法學習小記（這個比較詳細）

要求 i

的逆元，設 p=

k×i+

r，其中

r 是

pmod

i的餘數，所以

r所以 k×i

+r=0

(modp)

兩邊乘以 i−

1r−1

，得 k×

r−1+

i−1=

0(modp)

所以 i

的逆元 i−

1=−k

×r−1

=−⌊p

i⌋×r

−1(modp)

由於 r

<

i ，所以 r−

1 前面已經算過了，所以可以遞推出來，複雜度 (

p)

[數論]線性求所有逆元的方法

當兩個正無理數

p ，

q的倒數之和為

1 則 b

p=n≥

1與bq

=n≥1

正好構成了整數的劃分 1p

+1q=

1 bp

∩bq=

∅ bp

∪bq=

ℤ+

1+5√

2 ，q=

3+5√

2 1p

+1q=

1 bp

= bq

= 這恰好是威佐夫博弈的前幾個必敗點

初等數論 1 1 數和序列

定義 整數集合z z z 公理 良序性質 the well ordering property 每個非空的正整數集合都有乙個最小元.注意z z沒有良序性質.定義 有理數集合q m in z,n in z n neq0 q 練習 證明2 sqrt 2 是無理數.證明 假設2 sqrt 2 是有理數，則...

初等數論 於秀源 習題 1 5

證明 存在無窮多個自然數 n 使得 n 不能表示為 a 2 p a in bf p 是正素數.證明 若除了有限幾個自然數，其它的自然數都能表示成這種形式，則從某個正完全平方數 b 1 2 開始，接下來所有的完全平方數能表示成這種方式.令 b 1 1 b 1 2 a 1 2 p 1 則 b 1 2 a...

初等數論 於秀源 習題 1 5

證明 存在無窮多個自然數 n 使得 n 不能表示為 a 2 p a in bf p 是正素數.證明 若除了有限幾個自然數，其它的自然數都能表示成這種形式，則從某個正完全平方數 b 1 2 開始，接下來所有的完全平方數能表示成這種方式.令 b 1 1 b 1 2 a 1 2 p 1 則 b 1 2 a...