初等數論 於秀源 習題 1 5

證明:存在無窮多個自然數$n$,使得$n$不能表示為

$$a^2+p(a\in\bf^+)$$$p$是正素數.

證明:若除了有限幾個自然數，其它的自然數都能表示成這種形式，則從某個正完全平方數$b_1^2$開始，接下來所有的完全平方數能表示成這種方式.令$b_1>1$,$b_1^2=a_1^2+p_1$,則$b_1^2-a_1^2=p_1$,即$p_1=(b_1+a_1)(b_1-a_1)$.則$b_1-a_1=1$.也就是說，$p_1=2a_1+1$.然後考慮$b_2^2=(b_1+1)^2$.則$p_2=2b_1+1=2a_1+3$. 考慮$b_3^2=(b_2+1)^2$,可得$p_3=2b_2+1=2b_1+3=2a_1+5$.……

於是，我們得

$$2a_1+1,2a_1+3,2a_1+5,2a_1+7,\cdots$$都是素數，而易證這顯然是不可能的.

初等數論 於秀源 習題 1 5

證明 存在無窮多個自然數 n 使得 n 不能表示為 a 2 p a in bf p 是正素數.證明 若除了有限幾個自然數，其它的自然數都能表示成這種形式，則從某個正完全平方數 b 1 2 開始，接下來所有的完全平方數能表示成這種方式.令 b 1 1 b 1 2 a 1 2 p 1 則 b 1 2 a...

初等數論筆記

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初等數論 1 1 數和序列

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