一、有關剩餘類
定義1：從模n的每個剩餘類中各取乙個代表元，得到乙個由n個數組成的集合，叫做模n的乙個剩餘類。
定義2：用φ(n)表示從1,2,...,n中與n互素的整數的個數。
定義3：從模n的每個互素剩餘類中各取乙個代表元，得到乙個由φ(n)個元素組成的集合，叫做模n的簡化剩餘類。
定理1：設n為正整數，a,b為整數且(a,n) = 1,若是模n的乙個完全剩餘類，則也是模n的乙個完全剩餘類。
證明：反證法。略。
定理2：設n為整數，a為整數且(a,n) = 1，若為模n的乙個簡化剩餘類，則也是模n的乙個簡化類。
證明：由定理1知aa1,aa2,...,aaφ(n)模n兩兩不同餘。
下面證明aa1,aa2,...,aaφ(n)與n都互素，因為(a,n) = 1,所以存在整數u,v,使得au+nv= 1;又因為(ai,n) = 1,所以存在整數s,t,使得 ais+nt = 1。
於是(au+nv)*(ais+nt) = aai(us) + n(aisv+aut+nvt) = 1,易知(aai,n) = 1(反證法，假如最大公因數大於1，不可能組合得到1)。
所以是模n的乙個簡化剩餘類。
由上面的證明過程，我們可以得到最大公因數的乙個重要性質：
定理3：設m、n為正整數且(m,n) = 1,若是模m的乙個完全剩餘類，是模n的乙個完全剩餘類，則所有整數 nai+mbi組成的集合為模mn的乙個完全剩餘類。
定理4：設m、n為正整數且(m,n) = 1,若是模m的乙個簡化剩餘類，是模n的乙個簡化剩餘類，則所有整數nai+mbi組成的集合為模mn的乙個簡化剩餘類。
由定理4，我們立即可以得到如下關係式：
二、尤拉函式表示式
證明：由算數基本定理，n可以被分解為n = p1^t1*p2^t2...pk^tk.
由上面的關係是知φ(n) = φ(p1^t1)*φ(p2^t2)...φ(pk^tk)
下面證明：對任意正整數t和素數p,總有φ(pt) = pt - pt-1.
因為p是素數，所以不與pt互素的數都是p的倍數，1~pt中p的倍數分別是p,2p,...,pt-1p,共pt-1個.
從而1~pt中與p互素的有pt-pt-1個，即φ(pt) = pt - pt-1.
這樣有φ(n) = (pt1 - pt1-1)(pt2 - pt2-1)...(ptk - ptk-1)
=p1^t1*p2^t2...pk^tk(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pk)
=n(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pk)
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