定義：整數集合z
=\z=\
z=公理：良序性質（the well-ordering property）每個非空的正整數集合都有乙個最小元.
注意z
z沒有良序性質.
定義：有理數集合q
=ℚ=\:m\in\z,n \in\z ,n\neq0 \}
q=
練習：證明2定義：數α\sqrt
2是無理數.
證明：假設2
\sqrt
2是有理數，則∃a,
b∈z，
2=ab
\exists a,b\in\z，\sqrt=\frac
∃a,b∈z
，2=
ba，則記集合s=≠
ϕs=\|k\in \z^ \}\neq\phi
s≠=ϕ
（因為a=b
2∈
sa=b\sqrt\in s
a=b2∈
s）由良序性質，s
s中有最小元，比如s=t
2s=t\sqrt
s=t2.
注意s 2−
s=s2
−t2=
(s−t
)2
s\sqrt-s=s\sqrt-t\sqrt=\left(s-t\right)\sqrt
s2−s=
s2−
t2=
(s−t
)2，由於s2=
2t
s\sqrt=2t
s2=2t
和s
ss都是整數，則s2−
s=(s
−t)2
s\sqrt-s=\left(s-t\right)\sqrt
s2−s=
(s−t
)2也是整數.而且由於2−1
>
0\sqrt-1>0
2−1
>
0，這個數在s
ss中，又2−1
<
1\sqrt-1<1
2−1
<
1，與s
ss是s
ss中的最小元矛盾，所以2
\sqrt
2是無理數.
\alpha
α為代數數當且僅當α
\alpha
α是整係數多項式的根.即∃a0
,a1,
⋯,an
∈z
\exists a_0,a_1,\cdots,a_n \in \z
∃a0,a
1,⋯
,an
∈z使得a nα
n+⋯+
a1α+
a0=0
a_n\alpha^n+\cdots+a_1\alpha+a_0=0
anαn+
⋯+a1
α+a
0=0
.否則數α
\alpha
α稱為超越數.
所有有理數都是代數數，因為ba∈定義：實數xq\frac\inℚ
ab∈
q是方程ax−
b=0,
a,b∈
zax-b=0,a,b\in\z
ax−b=0
,a,b
∈z的根.
xx中的最大整數（greatest integer）記為[x]
\left[x\right]
[x]，滿足[x]
∈z
\left[x\right]\in\z
[x]∈z且[x]
≤x
<[x
]+
1\left[x\right]\le x<\left[x\right]+1
[x]≤
x<[x
]+1
也稱為取整函式（floor function）⌊x⌋定義：實數x\lfloor x\rfloor
⌊x⌋.
上整數函式（ceiling function）⌈x⌉
\lceil x\rceil
⌈x⌉是大於或等於x
xx的最小整數.
xx的分數部分（fractional part）記為:=
x−[x
].
\left\:=x-\left[x\right].
:=x−[x
].定理：dirichlet逼近定理：若α∈r
,n∈n
+\alpha\in \r , n \in \n^+
α∈r,n∈
n+，則∃ a,
b∈z,
1≤a≤
n,1≤
b≤
n\exists a,b \in \z,1\le a \le n, 1\le b \le n
∃a,b∈z
,1≤a
≤n,1
≤b≤n
，使得∣aα
−b
∣<1n
\left| a\alpha -b \right|<\frac
∣aα−b∣
定義：乙個集合可數（countable）當且僅當集合是有限集或和z
+\z^+
z+之間存在雙射.否則集合不可數（uncountable）.
qℚq是可數集.
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