眾所周知，當n，m在自然數集中有 cm
n=n!
m!(n
−m)!
由此可證得cm
n=cm
n−1+
cm−1
n−1
而cm−
n=−(
1)mc
n+m−
1m是否也能用兩個組合數來表示cm
−n答案是肯定的。
容易猜想cm
−n=c
m−n+
1−cm
−1−n
+1而且猜想很容易證得是正確的。
證明如下: cm
−n=−
(1)m
cmn+
m−1
cm−n
+1−c
m−1−
n+1=
−(1)
mcmn
+m−2
−(−1
)m−1
cm−1
n+m−
2=−(
1)m(
cmn+
m−2+
cm−1
n+m−
2)又由cm
n=cm
n−1+
cm−1
n−1 可得cm
n+m−
1=cm
n+m−
2+cm
−1n+
m−2
所以cm−
n=cm
−n+1
−cm−
1−n+
1 規定n，m為自然數， cm
n=cm
n−1+
cm−1
n−1 ，cm
−n=c
m−n+
1−cm
−1−n
+1有什麼用呢？
考慮化簡這樣乙個式子 ck
1+ck
2+ck
3+..
.+ck
n (n,k為正整數)
其實該式就等於ck
+1n+
1 因為c
k+1n
+1=c
k+1n
+ckn
，此時可以消去ck
n 而c
k+1n
=ck+
1n−1
+ckn
−1，此時可以消去ck
n−1
…ck+
12=c
k+11
+ck1
=0+c
k1此時可以消去ck
1 最終你會發現它們是相等的。
再考慮乙個這樣的式子 ck
−1+c
k−2+
ck−3
+...
+ck−
n (n,k為正整數)
該式等於−c
m+1−
n−1
同樣利用cm
−n=c
m−n+
1−cm
−1−n
+1可證明。
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