以下均為10年前討論的一些內容，或者更早一些。
問題1.考慮調和函式 $-\delta u=0\ \ \mbox\ \ r^n$, $n\geq2$, 且$u(x)\geq -(1+|x|)^$ in $r^n$, 其中$\alpha\in(0,1)$, 證明: $u$必為常數。
證明:(1) 考慮直接對$u-\inf\limits_}u$在$b_r$上使用harnack 不等式，則
$$\sup_}u-\inf_}u\leq c(u(0)-\inf_}u).$$
那麼$$\sup_}u\leq c|u(0)|+(1-c)\inf_}u\leq c|u(0)|+(c-1)(1+2r)^,$$
這樣就有
$$\sup_}|u|\leq c|u(0)|+c(1+2r)^$$
最後用調和函式的梯度內估計就可以得到結論了。
(2)第二種方法是利用平均值公式推導梯度估計的方法，並結合積分中值定理即可知道$\nabla u \equiv 0$. 具體細節見 oleinik的《偏微分方程講義》，當然本問題還可以推廣控制的階數。
(3) 受極小曲面的bdg估計的啟發(因為對於極小曲面方程可以提相同的問題，見e.guisti的book)，調和函式也可以有類似的梯度估計(見林芳華，韓青的橢圓方程講義的第一章lemma1.11, 考慮 $u(x)-\inf_ u$, 即先用平均值公式，再用散度定理，最後用平均值公式)，即 對任意的$x_0\in r^n$, $r>0$, 可以做估計：
$$|\nabla u(x_0)| \leq \frac (u(x_0)-\inf_ u) , $$
這樣問題也類似的迎刃而解。
問題2.考慮二維情形的 全平面 下調和函式 上有界，則必為常數。具體如下:
$$u\in c^2(r^2),\ \ \ -\delta u\leq0\ \ in \ \ r^2, \sup\limits_u=0, \ \ then\ \ u\equiv 0. $$
證明: 第一種情形：如果$u(0)=0$, 由強極值原理可知結論成立。
第二種情形：如果$u(0)=-m<0$，以下證明 這不可能發生。
由連續性可知，存在$\delta>0$使得， $\forall\ |x|\leq \delta,\ \ u(x)\leq -\frac<0$, 然後在外部考慮使用基本解構造的閘函式。 對任意的$\epsilon>0$, 取
$$v_(x)=-\frac+\epsilon \ln(\frac),$$
由比較定理容易知道 $u\leq v_$ in $\.$
最後令 $\epsilon\rightarrow0+$可知，
$$u\leq -\frac \mbox \.$$
這樣就會有 $u\leq -\frac$ in $r^2$, 這與假設$\sup\limits_ u=0$相矛盾。q.e.d.
問題3. 考慮調和函式 $-\delta u=0\ \ \in\ \ r^n$, $n\geq2$, 且$u(x)\in l^p(r^n)$, $p>0$，則$u\equiv 0$.
證明: $p\geq 1$時，只需要用均值公式和holder不等式，至於其他情形可考慮內插或者直接使用moser迭代的區域性極值原理。 q.e.d.
問題4. 關於有界調和的可去奇性的問題。引入capacity來描述，並利用haussdorff測度來直觀判定。
問題5. 關於有界調和的孤立點奇性的bocher定理。
問題4、5是值得深究的，它們可以推廣到其他橢圓、拋物方程上去。
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