1.sperner theorem設a
為n元集，a1
,a2,
...,
am為a
的子集且兩兩互不包含，則m的最大值為(n
[n/2
])proof:
lemma: ∑m
i=11
(n|a
i|)≤
1 proof of lemma:
it is equivalent to ∑m
i=1|
ai|!
(n−|
ai|)
!≤n!
on the one hand,
a 中全排列有n!
個 on the other hand, for eachai
，做a 中全排列如下： x1
x2..
.x|a
i|y1
y2..
.yn−
|ai|
其中x1
x2..
.x|a
i|是a
i 中元素的全排列。 y1
y2..
.yn−
|ai|
是補集的全排列。
注意到，當i≠
j 時，對應的全排列不同。（否則兩個子集有包含關係）
由lemma： m(
n[n/
2])≤
∑mi=
11(n
|ai|
)≤1 ，得證。
2.kummer theoremn=
(nkn
k−1.
..n0
)p m
=(mk
mk−1
...m
0)p
n−m=
(dkd
k−1.
..d0
)p v
p((n
m)) equals to the aomunt of carry-bit: l
when adding (n-m) and m.
proof: vp
(n!)
=∑∞l
=1[n
pl]=
n1+n
2(1+
p)+.
..+n
k(1+
p2+.
..+p
k−1)
=n−(
n0+n
1+..
.+nk
)p−1
thus vp
((nm
))=v
p(n!
)−vp
((n−
m)!)
−vp(
m!)=
∑ki=
0(mi
+di−
ni)p
−1=l
乙個有趣的結論：lc
m((n
0),(
n1),
...,
(nn)
)=lc
m(1,
2,..
.,n+
1)n+
1 src:
3.lucas theoremn=
(nkn
k−1.
..n0
)p m
=(mk
mk−1
...m
0)p
(nm)
≡∏ki
=0(n
imi)
(mod
p)proof:
算兩次，首先考察(1
+x)n
，xm 係數為(n
m)=l
hs.
然後，(1+
x)n=
(1+x
)∑j=
kj=0
njpj
≡∏j=
kj=0
(1+x
pj)n
j rh
s=[x
m]∏j
=kj=
0(1+
xpj)
nj
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