威佐夫博弈

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如有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。

我們用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，…,n)表示兩堆物品的數量並稱其為局勢，如果甲面對（0，0），那麼甲已經輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現過的最小自然數,而 bk= ak + k。

1.任何自然數都包含在乙個且僅有乙個奇異局勢中。

由於ak是未在前面出現過的最小自然數，所以有a[k] > a[k-1] ，而 bk= a[k] + k > a[k-1] + k > a[k-1] + k - 1 = b[k-1] > a[k-1] 。所以性質1成立。

2.任意操作都可將奇異局勢變為非奇異局勢。

事實上，若只改變奇異局勢（ak，bk）的某乙個分量，那麼另乙個分量不可能在其他奇異局勢中，所以必然是非奇異局勢。如果使（ak，bk）的兩個分量同時減少，則由於其差不變，且不可能是其他奇異局勢的差，因此也是非奇異局勢。

3.採用適當的方法，可以將非奇異局勢變為奇異局勢。

假設面對的局勢是（a,b），若 b = a，則同時從兩堆中取走 a 個物體，就變為了奇異局勢（0，0）；如果a = ak ，b > bk 那麼，取走b - bk個物體，即變為奇異局勢；如果 a = ak ， b < bk 則同時從兩堆中拿走a-a[b-a] 個物體變為奇異局勢（ a[b-a], b-a+a[b-a]）；如果a > ak ，b= ak + k 則從第一堆中拿走多餘的數量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分兩種情況，第一種，a=aj （j < k）從第二堆裡面拿走 b - bj 即可；第二種，a=bj （j < k）從第二堆裡面拿走 b - aj 即可。

那麼如果某個人遇到了這樣的狀態(0,0)那麼也就是說這個人輸了。這樣的狀態我們叫做奇異狀態,也可以叫做失敗態。如果我面對的是乙個奇異狀態，而且雙方都在去正常步驟，那我是必敗的

我是這樣理解的：對於（1,2）這個奇異狀態，是很容易明白的。現在我假設面對的是另外的乙個奇異狀態，由性質2無論我採取什麼樣的操作，這個奇異狀態都會而且只能變成乙個非奇異狀態（因為a[i]是前面的失敗態中沒有出現過的最小的整數，且每次只能從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品）。接著又由性質3 ，因為我的對手是足夠聰明的，總能將現在這個非奇異狀態變成乙個奇異狀態，這樣迴圈往復，就會變成（1,2）這個狀態，而這個狀態下我是必輸的。

然而這些非奇異狀態是怎麼找到的呢？見下：

有限個結點的無迴路有向圖有唯一的核中所述的方法尋找必敗態。先標出(0,0)，然後劃去所有(0,k),(k,0),(k,k)的格點；然後找y=x上方未被劃去的格點，標出(1,2)（因為從座標的角度上講，無論是讓x減少或者y減少，還是x,y同時減小相同長度，都只能得到乙個非奇異狀態，所以（1,2）是乙個奇異狀態），然後劃去(1,k),(k,2),(1+k,2+k)（因為這幾個狀態下，都可以將其變為（1,2）必敗狀態），同時標出對稱點(2,1)（必敗狀態與數字的順序無關），劃去(2,k),(1,k),(2+k,1+k)；然後在未被劃去的點中在y=x上方再找出(3,5)。。。按照這樣的方法做下去，如果只列出a<=b的必敗態的話，前面的一些是(0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),…

所以，得到這樣的結論：

兩個人如果都採用正確操作，那麼面對非奇異局勢，先拿者必勝；反之，則後拿者取勝。

那麼任給乙個局勢（a，b），怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：

ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，…n 方括號表示取整函式)

奇妙的是其中出現了**分割數（1+√5）/2 = 1.618…因此，由ak，bk組成的矩形近似為**矩形，由於2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那麼a = aj，bj = aj + j，若不等於，那麼a = aj+1，b = aj + j + 1，若都不是，那麼就不是奇異局勢。然後再按照上述法則進行，一定會遇到奇異局勢。

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#define clr(arr, val) memset(arr, val, sizeof(arr))
using
namespace
std;
int main()
return
0;}

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