所謂的快速冪,實際上是快速冪取模的縮寫,簡單的說,就是快速的求乙個冪式的模(餘)。在程式設計過程中,經常要去求一些大數對於某個數的餘數,為了得到更快、計算範圍更大的演算法,產生了快速冪取模演算法。
一.先從簡單的例子入手:先求值,在取模。
演算法1.首先直接地來設計這個演算法:
int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
ans = ans * a;
ans = ans % c;
這個演算法的時間複雜度體現在for迴圈中,為o(b
).這個演算法存在著明顯的問題,如果a和b過大,很容易就會溢位。
那麼,我們先來看看第乙個改進方案:在講這個方案之前,要先有這樣乙個公式:
引理1:(a*b)modn=((a mod n)*(b mod n))mod n
上面公式為下面公式的引理,即積的取餘等於取餘的積的取餘。
證明了以上的公式以後,我們可以先讓a關於c取餘,這樣可以大大減少a的大小,
於是不用思考的進行了改進:
演算法2:
int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
ans = ans * a;
ans = ans % c;
聰明的讀者應該可以想到,既然某個因子取餘之後相乘再取餘保持餘數不變,那麼新算得的ans也可以進行取餘,所以得到比較良好的改進版本。
演算法3:
int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
ans = (ans * a)% c;//這裡再取了一次餘
ans = ans % c;
這個演算法在時間複雜度上沒有改進,仍為o(b),不過已經好很多的,但是在c過大的條件下,還是很有可能超時,所以,我們推出以下的快速冪演算法。
二.快速冪演算法依賴於以下明顯的公式,我就不證明了。
有了上述兩個公式後,我們可以得出以下的結論:
1.如果b是偶數,我們可以記k = a2
mod c,那麼求(k)b/2
mod c就可以了。
2.如果b是奇數,我們也可以記k =a2
mod c,那麼求
((k)b/2
mod c × a ) mod c =((k)b/2
mod c * a) mod c就可以了。
那麼我們可以得到以下演算法:
演算法4:
int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
ans = (ans *a) mod c; //如果是奇數,要多求一步,可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我們取a2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
ans = (ans *k) % c;
ans = ans % c;
我們可以看到,我們把時間複雜度變成了o(b/2).當然,這樣子治標不治本。但我們可以看到,當我們令k = (a * a)mod c時,狀態已經發生了變化,我們所要求的最終結果即為(k)b/2
mod c而不是原來的ab
mod c,所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然,對於奇數的情形會多出一項a mod c,所以為了完成迭代,當b是奇數時,我們通過
ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項,此時剩餘的部分就可以進行迭代了。
形如上式的迭代下去後,當b=0時,所有的因子都已經相乘,演算法結束。於是便可以在o
(log b
)的時間內完成了。於是,有了最終的演算法:快速冪演算法。
演算法5:快速冪演算法
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
將上述的**結構化,也就是寫成函式:
大冪值演算法:int powermod(int a, int b, int c)
return ans;
}
long long quickpow(int n,int base)
return ans;
}
本演算法的時間複雜度為o(
logb
),能在幾乎所有的程式設計(競賽)過程中通過,是目前最常用的演算法之一。
以下內容僅供參考:
擴充套件:有關於快速冪的演算法的推導,還可以從另乙個角度來想。
=? 求解這個問題,我們也可以從進製轉換來考慮:
將10進製的b轉化成2進製的表示式:
那麼,實際上,.
所以注意此處的要麼為0,要麼為1,如果某一項,那麼這一項就是1,這個對應了上面演算法過程中b是偶數的情況,為1對應了b是奇數的情況[不要搞反了,讀者自己好好分析,可以聯絡10進製轉2進製的方法],我們從依次乘到。對於每一項的計算,計算後一項的結果時用前一項的結果的平方取餘。對於要求的結果而言,為時ans不用把它乘起來,[因為這一項值為1],為1項時要乘以此項再取餘。這個演算法和上面的演算法在本質上是一樣的,讀者可以自行分析,這裡我說不多說了,希望本文有助於讀者掌握快速冪演算法的知識點,當然,要真正的掌握,不多練習是不行的。
by 夜せ︱深
**!!!
__int64 fun(__int64 a,__int64 b,__int64 c)//a的b次方對c求餘
return ans;
} 三.關於矩陣的快速冪演算法
或者void metrixmul(int p1[2][2],int p2[2][2])
void metrixpow(int p[2][2],int n)
else
}
matrix i = ;
matrix matrixmul(matrix a,matrix b) //矩陣乘法
return c;
}
matrix quickpow(martix p,long long n)
return b;
}
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