如果乙個系統由n個變數和m個約束條件組成，其中每個約束條件形如：xj-xi<=bk，其中，1<=i,j<=n, 1<=k<=m。則稱其為差分約束系統(system of difference constraints)。差分約束系統就是求解關於一組變數的不等式組的方法。
求解差分約束系統，可以轉化為圖論中的單源最短路徑問題。
觀察約束條件xj-xi<=bk，會發現它類似於最短路中的三角不等式d[u]<=d[v]+w[u,v](即d[u]-d[v]<=w[u,v])。因此，以每個變數xi為結點，對於約束條件xj-xi<=bk，連線一條邊(i,j)，邊權為bk。再增加乙個源點s，s與所有的點相連，邊權為0。對這個圖，執行以s為起點的bellman-ford(或者spfa)，最終即為一組可行解。
引理：設x=(x1,x2,…,xn)是差分約束系統ax≤b的乙個解，d為任意常數。則x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是該系統ax≤b的乙個解。
poj3159：發蘋果問題。flymouse是班長，他需要給每個同學發一定數量的蘋果，但是學生之間會有比較，有的學生(編號為a)認為某個學生b的蘋果數不能超過他v個(sb-sa<=v)。flymouse的編號為1，現在要求滿足學生要求，並且使s1 - sn最大。
解：從a到b連線一條有向邊，權值為v。以1為起始點，求到每個點的最短路徑，最終dis[n]即為所求。
poj1364：有乙個國王，它只會算連續的數的加法，假設一串數，給出條件si，ni，operator，ki，意思是從si到si+ni這段數的和》或者
解：設s[i]表示從串開頭1到i的和，s[0]=0，則條件可轉化為：s[ni+si] - s[si-1] > ki(or <)。由於s[i]均為整數，可以轉化為：s[ni+si] - s[si-1] >= ki + 1(or <= ki-1)。先將條件全部轉化為<=形式，再新增超級源點n+1，到其餘各點連線一條邊，權值為0。利用spfa判斷負環的存在。
poj2983：有兩個敵對勢力，a方想弄清楚b方的n個防禦站的位置，通過一些地下組織。地下組織提供多條情報，你要判斷這些情報是否可靠。情報分為兩種：p a b x：a站在b站北邊x公里；v a b：a站在b站北邊至少1公里，但具體多遠不清楚。現在給出n個站和m條情報，判斷這m條情報是否可靠。
解：設s[i]表示i站距離最南邊的距離，s[0]=0，則情報可以轉化為s[a]-s[b]<=x&&s[a]-s[b]>=x；s[a] - s[b]>=1。首先將這些不等式全部轉化為<=，求最短路用bellmanford判斷負環。
poj1201：給出n(n=50000)段連續的整數(整數均小於50000)，要求出乙個最小的集合z，至少包含第i段裡面ci個數。
解：s[i]表示z集合從0到i-1中取的整數的個數。對於段[a,b]取不小於c個數，則有：s[b+1]-s[a]>=c。顯然，這是求最長路。（用spfa注意新增源點）
有關差分約束系統建模問題，可參
差分約束系統
差分約束 若 s a s b k 建一條b到a 的長度為k的邊 若s a s b k 建一條b到a 的長度為 k的邊 是求最小值的最長路 是求最大值的最短路 注意到最短路演算法的鬆弛操作 if d j d i w i j d j d i w i j 這其中的三角形不等式 d j d i w i j ...
差分約束系統
差分約束系統 對於差分不等式，a b c 建一條 b 到 a 的權值為 c 的邊，求的是最短路，得到的是最大值 對於不等式 a b c 建一條 b 到 a 的權值為 c 的邊，求的是最長路，得到的是最小值 存在負環的話是無解 求不出最短路 dist 沒有得到更新 的話是任意解 第三 一種建圖方法 設...
差分約束系統
差分約束系統 x1 x2 0 x1 x5 1 x2 x5 1 x3 x1 5 x4 x1 4 x4 x3 1 x5 x3 3 x5 x4 3 不等式組 1 全都是兩個未知數的差小於等於某個常數 大於等於也可以，因為左右乘以 1就可以化成小於等於 這樣的不等式組就稱作差分約束系統。這個不等式組要麼無解...