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先說原題,已知如圖,單位正方形內,四個頂點為圓心畫四個1/4單位圓,求紅色的公共部分面積. (初中知識)
如果不考慮"初中"這個限制,直接對如下圖所示的陰影部分來乙個積分,得到面積乘以4即可:
結果是
這個解析結果因為是 根號3和pi的有理數倍數的加減,看上去很符合拼湊的要求,因此這樣的"初中水平的解"從這個角度看是存在的.
結果中的1可以用正方形面積, 根號3可以用正三角形abe面積的4倍, pi可以用單位圓的面積來拼湊.
先求下面圖中斜線部分afdm的面積,它的上半部分是梯形cdmf減去乙個30°角的單位半徑的扇形cdf的面積,從而得到afdma面積是:
再求下圖網格區域abhef的面積,它是兩個60°單位長半徑的扇形(abe + bea)面積之和減去重疊部分(乙個單位邊長的正三角形abe)面積
所以, 面積為pi/3 - sqrt(3)/4
紅色部分的面積從而是
JZ初中OJ 1567 GDKOI 簡單題
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