來自網路的一道題。如圖綠色部分，δa
ob是等腰直角三角形，o:
(0,0
) 為座標原點，a:
(−4,
0)、b:(
0,4)
。 m 是ab
中點。
e 在
x軸正半軸上，f
ob上。∠
emf=
45o。
求使得：of
+ef=
6 的e:
(x,0
) 點橫座標
x 之值。
看到有人用新增紅色輔助線的方法證明了一通，無視of
+ef=
6就得到了oe
=2。這個**只是提示，如圖這樣的紅色輔助線是無濟於事的。
強大而穩健的方法，主要還是代數的、解析幾何的方法。
假設 e(x
,0),
f(0,
y)的情況下，引入了兩個未知量，根據已知條件，對δe
mf利用餘弦定理和對δe
of使用勾股定理（從而利用已知條件中of
+ef=
6 ）恰好得到兩個等式。但是乍看至少是二元二次方程組(實際是二元四次方程組)，求這樣的非線性方程組的正實數解（這是不是有些超綱了？，網路上來的不少問題本來可能不一定靠譜）。y+
x2+y
2−−−
−−−√
=6(1) x2
+y2=
((x+
2)2+
4)+(
(y−2
)2+4
)−2(
(x+2
)2+4
)⋅((
y−2)
2+4)
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−√(2*) x
2y2+
4xy2
−4x2
y−32x
+32y=
64(2)
可是，這是二元二次非線性方程組，歸結為一元六次方程求根的問題。理論上，大於等於5次的一元多項式方程不一定能找到一般形式的根式解。這個雖然能夠求解，並能暴力方法得到 x=
2,y=
83， 但是是否有初等解法？讓人懷疑。
期待初等解法。
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