樹狀陣列區間求和三種模型

樹狀陣列在區間求和問題上有大用，其三種複雜度都比線段樹要低很多……有關區間求和的問題主要有以下三個模型（以下設a[1..n]為乙個長為n的序列，初始值為全0）：

（1）「改點求段」型，即對於序列a有以下操作：

修改操作：將a[x]的值加上c；

求和操作：求此時a[l..r]的和。

這是最容易的模型，不需要任何輔助陣列。樹狀陣列中從x開始不斷減lowbit(x)（即x&(-x)）可以得到整個[1..x]的和，而從x開始不斷加lowbit(x)則可以得到x的所有前趨。**：

void

add(

intx,

intc)int

sum(

intx)

操作：add(x, c);

操作：sum(r)-sum(l-1)。

（2）「改段求點」型，即對於序列a有以下操作：

修改操作：將a[l..r]之間的全部元素值加上c；

求和操作：求此時a[x]的值。

這個模型中需要設定乙個輔助陣列b：b[i]表示a[1..i]到目前為止共被整體加了多少（或者可以說成，到目前為止的所有add(i, c)操作中c的總和）。

則可以發現，對於之前的所有add(x, c)操作，當且僅當x>=i時，該操作會對a[i]的值造成影響（將a[i]加上c），又由於初始a[i]=0，所以有a[i] = b[i..n]之和！而add(i, c)（將a[1..i]整體加上c），將b[i]加上c即可——只要對b陣列進行操作就行了。

【首先對於每個數a定義集合up(a)表示定義集合down(a)表示。可以發現對於任何a

翻轉乙個區間[a,b]（為了便於討論先把原問題降為一維的情況），我們可以把down(b)的所有元素的翻轉次數+1，再把down(a-1)的所有元素的翻轉次數-1。而每次查詢乙個元素c時，只需要統計up(c)的所有元素的翻轉次數之和，即為c實際被翻轉的次數】

這樣就把該模型轉化成了「改點求點」型，只是有一點不同的是，sum(x)不是求b[1..x]的和而是求b[x..n]的和，此時只需把add和sum中的增減次序對調即可（模型1中是add加sum減，這裡是add減sum加）。**：

void

add(

intx,

intc)int

sum(

intx)

操作：add(l-1, -c); add(r, c);

操作：sum(x)。

（3）「改段求段」型，即對於序列a有以下操作：

修改操作：將a[l..r]之間的全部元素值加上c；

求和操作：求此時a[l..r]的和。

這是最複雜的模型，需要兩個輔助陣列：b[i]表示a[1..i]到目前為止共被整體加了多少（和模型2中的一樣），c[i]表示a[1..i]到目前為止共被整體加了多少的總和（或者說，c[i]=b[i]*i）。

對於add(x, c)，只要將b[x]加上c，同時c[x]加上c*x即可（根據c[x]和b[x]間的關係可得）；

而add(x, c)操作是這樣影響a[1..i]的和的：若x=i）會將a[1..i]的和加上i*c。也就是，a[1..i]之和 = b[i..n]之和 * i + c[1..i-1]之和。

這樣對於b和c兩個陣列而言就變成了「改點求段」（不過b是求字尾和而c是求字首和）。

另外，該模型中需要特別注意越界問題，即x=0時不能執行sum_b操作和add_c操作！**：

void

add_b(

intx,

intc)void

add_c(

intx,

intc)int

sum_b(

intx)

intsum_c(

intx)

inline

intsum(

intx)

操作：

add_b(r, c); add_c(r, c);

if (l > 1)

操作：sum(r) - sum(l - 1)。

樹狀陣列區間求和三種模型

樹狀陣列區間求和三種模型

詳解樹狀陣列三種模型

樹狀陣列 區間求和

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