0 1揹包問題及變種

0-1揹包問題：

有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

這個問題的特點是：每種物品只有一件，可以選擇放或者不放。

演算法基本思想：

利用動態規劃思想，子問題為：f[i][v]表示前i件物品恰放入乙個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。

其狀態轉移方程是：f[i][v]=max //這個方程非常重要，基本上所有跟揹包相關的問題的方程都是由它衍生出來的。

解釋一下上面的方程：「將前i件物品放入容量為v的揹包中」這個子問題，如果只考慮第i件物品放或者不放，那麼就可以轉化為只涉及前i-1件物品的問題，即1、如果不放第i件物品，則問題轉化為「前

i-1件物品放入容量為v的揹包中」；2、如果放第i件物品，則問題轉化為「前

i-1件物品放入剩下的容量為v-c[i]的揹包中」(此時能獲得的最大價值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i])。則f[i][v]的值就是1、2中最大的那個值。

（注意：f[i][v]有意義當且僅當存在乙個前i件物品的子集，其費用總和為v。所以按照這個方程遞推完畢後，最終的答案並一定是f[n] [v]，不一定是唯一的最大值，也可以是f[n][0..v]的最大值。

以下為演算法**：是個不斷優化的過程。首先(1)給出了遞迴和迭代的思想，(2)然後對迭代的演算法**進行空間優化。(3)然後給出了該問題的變種：恰好裝滿揹包和完全揹包問題。

(1)遞迴方法：

// 0-1 揹包問題遞迴方法回溯求最佳解 int packagerecursion(int c, int n)

(2)迭代方法：

//  0-1 揹包問題迭代方法 
void packageiteraction()
int j;
for(i = 0 ; i < n+1; i++)		}
// 正好裝滿揹包 加上這幾行
/*for(i = 0 ; i < n+1; i++)
}*/for(i = 1; i < n+1; i++)		}
if(f[n][c] > 0)
}}	else
for(i = 0; i < n+1; i++)     // 釋放記憶體空間
delete f;
}

（3）迭代方法優化空間複雜度：

以上迭代方法的時間複雜度和空間複雜度都是o(n*v)，其中時間複雜度基本已經不能再優化了，但空間複雜度卻可以優化到o(v)。此時的做法是用f[v]來儲存當前獲得的價值的最大值，第二個for迴圈反向遍歷。

//  將j=v:weight[i] 只用一維陣列儲存就可以了，降低了空間複雜度
void packageiteractionopt()
}	cout << f[c] << endl;
delete f;     // 釋放記憶體空間
}

main函式**：

int main()

輸出結果：

(4)變種

1：恰好裝滿揹包

在初始化時除了f[0]為0其它f[1..v]均設為-∞，這樣就可以保證最終得到的f[v]是一種恰好裝滿揹包的最優解，即揹包中存有的價值，不是揹包的容量。如果不能恰好滿足揹包容量，即不能得到f[v]的最優值，則此時f[v]=-∞，這樣就能表示沒有找到恰好滿足揹包容量的最優值。

以上**中可以將注釋的部分加上就可以了。其中int型別中最小值為0x80000000.

2：完全揹包

/*完全揹包問題  */
#include #include //a題時候使用memset需要新增這個庫函式
using namespace std;
int main()
}// 錯誤**
/*如樣例 2 10 2 3 3 5
*//*int k;
for(i = 1; i < n+1; i++)
}*/cout << f[m] << endl;
delete f;	}}
// 測試輸入
/*5 1000
144 990
487 436
210 673
567 58
1056 897*/
// 輸出
// 5940

參考文獻

2：

3：

「揹包題目」的基本描述是：有乙個揹包，能盛放的物品總重量為s,設有n件物品，其重量分別為w1，w2，…，wn，希望從n件物品中選擇若干物品，所選物品的重量之和恰能放進該揹包，即所選物品的重量之和即是s。遞迴和非遞迴解法都能求得「揹包題目」的一組解，試寫出「揹包題目」的非遞迴解法

分析：(1)遞迴解法直接用回溯就可以了，我們看**：

// 回溯
void backtracking(int depth, int maxdepth, vectortemp, vectorvec, const int &s)
}if(sum == s)result.push_back(tmp);
return;
}		backtracking(depth+1, maxdepth, temp, vec, s);    // 沒有取depth的元素時的遞迴
temp[depth]=1;
backtracking(depth+1, maxdepth, temp, vec, s);   // 取depth的元素時的遞迴
}

(2)非遞迴求出所有的解，我們可以採用位操作：

// 找出所有的解
void package(vectorvec, int s)
for(int i = 0; i < n+1; i++)
f[i][0] = 1;   // 初始化
for(int i = 1; i < n+1; i++)
}		for(int i = 1; i < n+1; i++)
cout << endl;
}		// 回溯求結果
int j = s;
for(int i = n; i > 0; i--)}}	
}

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0 1揹包問題的變種

變種揹包問題演算法設計揹包問題

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