學過矩陣理論或者線性代數的肯定知道正交矩陣（orthogonal matrix）是乙個非常好的矩陣，為什麼這麼說？原因有一下幾點：
正交矩陣每一列都是單位向量，並且兩兩正交。最簡單的正交矩陣就是單位陣。
正交矩陣的逆（inverse）等於正交矩陣的轉置（transpose）。同時可以推論出正交矩陣的行列式的值肯定為正負1的。
正交矩陣滿足很多矩陣性質，比如可以相似於對角矩陣等等。
以上可以看出正交矩陣是非常特殊的矩陣，而本文題目中的旋轉矩陣就是一種正交矩陣！它完美的詮釋了正交矩陣的所有特點。
先說一下什麼是旋轉矩陣？如圖1所示，我們假設最開始空間的座標系xa，ya，za就是笛卡爾座標系（xa，ya，za都是列向量），這樣我們得到空間a的矩陣va=t，其實也可以看做是單位陣e。旋轉後，空間a的三個座標系變成了圖1中紅色的三個座標系xb，yb，zb，得到空間b的矩陣
圖1由於
圖2進一步討論之前，我們先說兩點數學知識。（1）點乘（dot product）的幾何意義：如圖3，我們從點乘的公式可以得到α•β相當與β的模乘上α在β上投影的模，所以當|β|=1時，α•β就是指α在β上投影的模。這一點在下面的內容中非常重要。（2）旋轉矩陣逆的幾何意思：這個比較抽象，不過也好理解。旋轉矩陣相當於把乙個向量（空間）旋轉成新的向量（空間），那麼逆可以理解為由新的向量（空間）轉回原來的向量（空間）。
圖3接下來就是重點了，我們結合圖4進行分析。上面已經說明了，旋轉矩陣r就是由
圖4這個發現有什麼用呢？圖5做出解釋。根據上面公式可以推出a到b的旋轉矩陣等於b到a的旋轉矩陣的轉置。根據我們上一段所說的a到b的旋轉矩陣的逆就是等於b到a的旋轉矩陣，因此很容易推出
圖5現在以三個尤拉角中的rotx為例（其餘兩個尤拉角以此類推），驗證一下以上說的結論。
首先結合圖5的公式，計算出rotx的旋轉矩陣
這樣就完成旋轉矩陣rrotx，我們接下來驗證一下。
我們計算每一行每一列的模，都為1；並且任意兩個列向量或者任意兩個行向量都是正交的。所以滿足上文列出的第乙個性質。
我們計算rrotx的行列式，很簡單可以算出為1。這時我們計算一下該矩陣的逆和轉置，這裡我不寫出來了是相等的。所以滿足上文列出的第三個性質。
第三個性質要牽扯到更多的數學知識，在這裡就不驗證了。
總結一下：旋轉矩陣是乙個完美的矩陣——正交矩陣。它的行列式為1，且每個列向量都是單位向量且相互正交，它的逆等於它的轉置。
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Rotate Matrix 旋轉矩陣性質分析
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旋轉矩陣 Rotate Matrix 的性質分析
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