近年的acm
競賽中，數學期望問題常有涉及，在以前也常讓本人感到很頭疼，近來突然開竅，掌握了基本的分析方法，希望對大家有幫助。寫得淺薄，可能數學上不夠嚴謹，只供理解。
首先，來看下期望有啥基本的公式。
對離散型隨機變數
x，其概率為
p，有對隨機變數a、
b,有第二條式子是今天的主角，他表明了期望有線性的性質，簡單理解就是期望之間可根據關係，簡單運算（不嚴謹的理解）。
這就為我們解決乙個期望問題，不斷轉化為解決另外的期望問題，最終轉化到乙個已知的期望上。
舉乙個求期望最簡單的例子，見下圖。
假設有個人在
1號節點處，每一分鐘他會緣著邊隨機走到乙個節點或者在原地停留，問他走到
4號節點需要平均幾分鐘？
這是個簡單的期望問題，我們用
ei(i=1,2,3,4)
表示從i
號節點走到
4號節點的數學期望值。根據題意對
1號節點有
e1=（
1/3）
*e1+
（1/3
）*e2+
（1/3
）*e3+1 ①表示
他下一分鐘可以走到2或者
3或在原地
1，每個可能概率是
1/3 ,
注意是下一分鐘，故要加上1.
同理我們對節點2，
3同樣可以列出
e2=(1/3)*e1+(1/3)*e2+(1/3)*e4+1
②e3=(1/3)*e1+(1/3)*e3+(1/3)*e4+1 ③
那e4等於多少呢？ 很明顯e4=0 ④，因為他就是要到點4
這樣上面1234式其實就是組成了一組方程組，解方程組就可得出e1！！，用高斯消元，複雜度是o(n^3)
從上述例子，我們可總結出如何解決期望類問題，根據題意，表示出各個狀態的期望（上例的ei，1234）,根據概率公式，列出期望之間的方程，解方程即可。
下面看用上述思路如何解決一道題（poj2096）
原題見附件1。
題意簡述： 乙個人受僱於某公司要找出某個軟體的bugs和subcomponents，這個軟體一共有n個bugs和s個subcomponents，每次他都能同時隨機發現1個bug和1個subcomponent,問他找到所有的bugs和subcomponents的期望次數。
我們用e(i,j)表示他找到了i個bugs和j個subcomponents，離找到n個bugs和s個subcomponents
還需要的期望次數，這樣要求的就是e(0,0),而e(n,s)=0,對任意的e(i,j),1次查詢4種情況，沒發現任何新的bugs和subcomponents，發現乙個新的bug，發現乙個新的subcomponent，同時發現乙個新的bug和subcomponent，用概率公式可得：
e(i,j)=1+(i*j/n/s)*e(i,j)+(i*(s-j)/n/s)e(i,j+1)+
((n-i)*j/n/s)*e(i+1,j)+(n-i)*(s-j)/n/s*e(i+1,j+1);
這樣根據邊界就可解出所有的e(i,j),注意因為當我們找到n個bugs和s個subcomponents就結束，對i>n||j>s均無解的情況，並非期望是0.(數學上常見問題，0和不存在的區別)
那這題是否也是要用高斯消元呢？ 用高斯消元得話複雜度是o(n^3)，達到10^18 根本是不可解的！！
但其實，注意觀察方程，當我們要解e(i,j)的話就需要e(i+1,j),e(i,j+1),e(i+1,j+1), 一開始已知e(n,s)，那其實只要我們從高往低乙個個解出i,j就可以了！ 即可根據遞推式解出所有的e(i,j) 複雜度是o(n),10^6 ，完美解決。程式見附件2
從上面這道題，我們再次看到了解決期望問題的思路，而且是用到了遞推解決問題，其實可遞推的原因，當我們把各個狀態當成是乙個個節點時，概率關係為有向邊，我們可看到，可遞推的問題其實就是這個關係圖是無環的！！那必須要用方程組解決的問題其實就是存在環！！！！ 而且我還要指出的是用高斯消元的時候，要注意誤差的問題，最好把式子適當的增大，避免解小數，否則誤差太大，估計也會卡題。
本文到此結束，簡單講解了期望類問題的解決思路，更加深入的學習可參考wc2009兩篇的**，希望能幫到大家！！
kicd
2009.7.31
簡說期望類問題的解法
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