寫完密碼約瑟夫就想到原來看到約瑟夫問題的乙個數學解法 很巧妙很簡單 不過只能推出最後乙個出列的人
無論是用鍊錶實現還是用陣列實現都有乙個共同點：要模擬整個遊戲過程，不僅程式寫起來比較煩，而且時間複雜度高達o(nm)，當n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規，實施一點數學策略。
為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：
問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。
我們知道第乙個人(編號一定是m%n-1) 出列之後，剩下的n-1個人組成了乙個新的約瑟夫環（以編號為k=m%n的人開始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
並且從k開始報0。
現在我們把他們的編號做一下轉換：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
......
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是乙個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：
令f[i]表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]
遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數值，最後結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1
由於是逐級遞推，不需要儲存每個f[i]，程式也是異常簡單：
#include
int main()
這個演算法的時間複雜度為o(n)，相對於模擬演算法已經有了很大的提高。算n，m等於一百萬，一千萬的情況不是問題了。可見，適當地運用數學策略，不僅可以讓程式設計變得簡單，而且往往會成倍地提高演算法執行效率。
約瑟夫問題數學解法
from 問題描述 n個人 編號0 n 1 從0開始報數，報到 m 1 的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。我們知道第乙個人 編號一定是m 1 n 出列之後，剩下的n 1個人組成了乙個新的約瑟夫環 以編號為k m n的人開始 k k 1 k 2 n 2,n 1,0,1,2,k 2並且從...
約瑟夫問題數學解法
對於約瑟夫問題，今天看到了一篇好帖子，是用數學方法處理的，感覺還不錯的 無論是用鍊錶實現還是用陣列實現都有乙個共同點 要模擬整個遊戲過程，不僅程式寫起 來比較煩，而且時間複雜度高達o nm 當n，m非常大 例如上百萬，上千萬 的時候，幾乎是 沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最...
約瑟夫問題的數學解法
我們用較為簡潔的語言描述一下約瑟夫問題 有n個人從0 n 1進行編號，然後進行0 m 1的報數，報數到m 1的人出列，然後從下乙個人繼續開始新一輪的報數，最後剩下乙個人為勝者。其實我們可以重新看待一下約瑟夫問題，當沒刪除乙個人之後，我們從這個人後面的那個人重新開始0 n 2的編號，然後刪除 m 1 ...