齊次座標的理解

一直對齊次座標這個概念的理解不夠徹底，只見大部分的書中說道「齊次座標在仿射變換中非常的方便」，然後就沒有了後文，今天在乙個叫做「三百年重生」的部落格上看到一篇關於透視投影變換的**的文章，其中有對齊次座標有非常精闢的說明，特別是針對這樣一句話進行了有力的證明：

「齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區分向量和點，同時也更易用於進行仿射（線性）幾何變換。」——f.s. hill, jr。

由於作者對齊次座標真的解釋的不錯，我就原封不動的摘抄過來：

對於乙個向量v以及基oabc，可以找到一組座標(v1,v2,v3)，使得

v= v1a+ v2b +v3c（1）

而對於乙個點p，則可以找到一組座標（p1,p2,p3），使得

p–o= p1a +p2b+ p3c（2），

從上面對向量和點的表達，我們可以看出為了在座標系中表示乙個點（如p），我們把點的位置看作是對這個基的原點o所進行的乙個位移，即乙個向量——p – o（有的書中把這樣的向量叫做位置向量——起始於座標原點的特殊向量），我們在表達這個向量的同時用等價的方式表達出了點p：p=o+ p1a +p2b+ p3c (3)

(1)(3)是座標系下表達乙個向量和點的不同表達方式。這裡可以看出，雖然都是用代數分量的形式表達向量和點，但表達乙個點比乙個向量需要額外的資訊。如果我寫出乙個代數分量表達(1, 4, 7)，誰知道它是個向量還是個點！

我們現在把（1）（3）寫成矩陣的形式：v = (v1 v2 v3 0) x (a b c o)

p = (p1 p2 p3 1) x (a b c o),

這裡(a,b,c,o)是座標基矩陣，右邊的列向量分別是向量v和點p在基下的座標。這樣，向量和點在同乙個基下就有了不同的表達：3d向量的第4個代數分量是0，而3d點的第4個代數分量是1。像這種這種用4個代數分量表示3d幾何概念的方式是一種齊次座標表示。

這樣，上面的(1, 4, 7)如果寫成（1,4,7,0），它就是個向量；如果是(1,4,7,1)，它就是個點。

下面是如何在普通座標(ordinary coordinate)和齊次座標(homogeneous coordinate)之間進行轉換：

(1)從普通座標轉換成齊次座標時

如果(x,y,z)是個點，則變為(x,y,z,1);

如果(x,y,z)是個向量，則變為(x,y,z,0)

(2)從齊次座標轉換成普通座標時

如果是(x,y,z,1)，則知道它是個點，變成(x,y,z);

如果是(x,y,z,0)，則知道它是個向量，仍然變成(x,y,z)

以上是通過齊次座標來區分向量和點的方式。從中可以思考得知，對於平移t、旋轉r、縮放s這3個最常見的仿射變換，平移變換只對於點才有意義，因為普通向量沒有位置概念，只有大小和方向.

而旋轉和縮放對於向量和點都有意義，你可以用類似上面齊次表示來檢測。從中可以看出，齊次座標用於仿射變換非常方便。

此外，對於乙個普通座標的

點p=(px, py, pz)，有對應的一族齊次座標(wpx, wpy, wpz, w)，其中w不等於零。比如，p(1, 4, 7)的齊次座標有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把乙個點從普通座標變成齊次座標，給x,y,z乘上同乙個非零數w，然後增加第4個分量w；如果把乙個齊次座標轉換成普通座標，把前三個座標同時除以第4個座標，然後去掉第4個分量。

由於齊次座標使用了4個分量來表達3d概念，使得平移變換可以使用矩陣進行，從而如f.s. hill, jr所說，仿射（線性）變換的進行更加方便。由於圖形硬體已經普遍地支援齊次座標與矩陣乘法，因此更加促進了齊次座標使用，使得它似乎成為圖形學中的乙個標準。

以上很好的闡釋了齊次座標的作用及運用齊次座標的好處。其實在圖形學的理論中，很多已經被封裝的好的api也是很有研究的，要想成為一名專業的計算機圖形學的學習者，除了知其然必須還得知其所以然。這樣在遇到問題的時候才能迅速定位問題的根源，從而解決問題。

齊次座標的理解

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