0-1揹包問題是經典的動態規劃的例子，個人覺得這是個非常好的問題，可以用許多方法來解決，而且思路也各有不同。
個人比較推薦這三個部落格： 將動態規劃問題講解得比較詳細。但是裡面也難免有些地方不是很清楚。這裡我也講講我的看法，順便對第二篇文章做點補充。
先定義0-1揹包問題，注意這裡的符號與下面解題的前後一致：
有n件物品和乙個容量為w的揹包，
每種物品均只有一件。
第i件物品的重量是w[i]，價值是v[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
來乙個例子：
有3件物品，揹包容量為10，物品重量的陣列為w=, 價值的陣列為v=
例子的好處是可以隨時驗證我們的想法是否正確
如果一開始不告訴你如何來解0-1揹包問題，第乙個冒出來的解題思路是什麼？
盡可能的放價值大而重量小的物品，按照r[i]=v[i]/w[i]從大到小裝物品。等等，用例子驗證一下，這裡r=，也就是應該先裝第乙個，再裝第二個，第三個裝不下了，於是，得到的最大價值為4+5=9。……直觀上看去，5+6=11才是正解，那麼，這種方式無法解決這個問題。好吧，我承認，剛剛耍了你，只不過這個是思維的一種方式。這種方式稱為貪心法。貪心法適合解決分數揹包問題（即物品可以切割），適用貪心法解決的問題應當有最優子結構以及貪心選擇性質。所謂的貪心選擇性質，就是每一步都只需要考慮當前問題，而不需要考慮子問題（所以剛剛的想法是第乙個冒出來的，因為非常簡單，每次都只需要考慮當前的價值/重量最大的物品）。
接下來想的可能就是最簡單暴力能夠實現的方式，即窮舉法乙個乙個列舉所有能進入揹包的可能性，將只取1個，到只取2個，到只取n個的所有可能算出來，由於這裡3個會撐爆揹包，所以下圖未列出3個的組合，計算完畢之後按照價值倒序排列就是想要的結果。可以看到，這裡的計算次數是c(3,1) + c(3,2)，寫成一般形式就是c(n,1)+c(n,2)+...+c(n,n)，而這個
結果是1+2+2²+……2^n-1，雖然有可能最後一些結果可以被剪掉（比如這裡的3-3），但是可以想象，當n增大時無論時間空間都是不允許的。
好吧，想想看這裡有什麼問題？
這個時候，應當想到，如何將原問題分解為子問題，這是一種比較常用的思想，運用這種思想的兩大類演算法就是分治法和動態規劃，因此非常的牛x。可以想到的一種分解子問題的方式是：使用當前物品後重量為w的解空間與不使用當前物品重量就為w的解空間中較大的乙個。於是，依據這種子結構，可以將問題用遞迴實現出來，這裡簡單寫了乙個。
public class pack else
} else else}}
public static void main(string args) ;
int value = ;
int maxw = 10;
system. out.println(packdp(0, maxw, 0, weight, value));}}
仔細分析一下，上面的解法有什麼問題？似乎求解的時候重複了一些子問題，也就是說子問題重疊了（使用遞迴求解斐波那契數列時這個問題特別明顯）。
使用動態規劃的兩個特徵就是最優子結構以及子問題重疊。而動態規劃的精髓就在於使用了額外的儲存儲存了更小的子問題。這種儲存有兩種方式。
一是自頂向下，典型的就如上面的遞迴，如果要使用遞迴來實現同樣的問題，則必須使用備忘機制來儲存中間的子問題結果（例如乙個hashtable），以便下次計算時直接取得。
二是自底向上，典型的方式就是迭代，迭代通常使用陣列一步一步的向上儲存子問題的解，上層每一步都會使用已經計算出來的子問題解。
下面是動態規劃迭代法實現的過程，f[r]表示將前i件物品放入容量為w的揹包時的價值，而到底放入第幾件是由迴圈次數i來決定的。這裡，我也推薦手動計算一下以便理解這個過程。有不理解可以參考第二篇部落格
for i=1..n
for r=w..0
f[r]=max;
最後了，想起乙個比較有趣的題目：有n級台階，每次可以跳1級，2級……直到n級，那麼跳這n級台階一共有幾種跳法？
這個題比較有趣，借助於這個問題，可以幫我們梳理下動態規劃法的精髓。
參考：
揹包問題 01揹包問題
n個物品，總體積是v，每個物品的體積的vi，每個物品的最大價值是wi，在不超過v的體積下求最大價值 eg揹包容積為 5 物品數量為 4 物品的體積分別為 物品的價值分別為 思路定義乙個二位陣列int f new int n 1 v 1 f i j 就表示在1 i個物品中選取體積小於v的情況的最大價值...
揹包問題 01揹包
有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的重量是c i 價值是w i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。01揹包中的 01 就是一種物品只有1件，你可以選擇放進去揹包即1，也可以選擇不放入揹包中即0。include include using namespace std const int ...
揹包問題（01揹包）
1085 揹包問題 在n件物品取出若干件放在容量為w的揹包裡，每件物品的體積為w1，w2 wn wi為整數 與之相對應的價值為p1,p2 pn pi為整數 求揹包能夠容納的最大價值。input 第1行，2個整數，n和w中間用空格隔開。n為物品的數量，w為揹包的容量。1 n 100，1 w 10000...