線性規劃
lp(linear programming,線性規劃)是一種優化方法,在優化問題中目標函式和約束函式均為向量變數的線性函式,lp問題可描述為:
min x
s.t.
a·x b
aeq·x=beq
vlb x vub
其中 ，b,beq均為向量，a,aeq為矩陣，x為向量變數.矩陣a和向量b是線性不等式約束條件的係數，aeq和beq是等式約束條件的係數.
在matlab中，用於lp的求解函式為linprog.其呼叫格式為：
[x,fval,lambda]=linprog
(f,a,b,aeq,beq,vlb,vub,x0,options)
其中f,a,b,是不可預設的輸入變數，x是不可預設的輸出變數，它是問題的解.vlb,vub均是向量，分別表示x的下界和上界，x0為x的起始點，options為optimset函式中定義的引數的值，fval是目標函
數在解x處的值，lambda為在解x處的lagrange乘子.lambda.lower對應於vlb，lambda.upper對應於ulb，lambda.ineqlin是對應於線性不等式約束的，lambda.eqlin是對應於線性等式約束的.
下面舉乙個小例子看看函式的作用：
minz=-4a+b+7c
s.t.
a+b-c=5 3a-b+c<=4
a+b-4c<=-7 a,b>=0
問a，b，c分別取何值時，z有最小值
編寫m檔案
c=[-4 1 7];
a=[3 -1 1;1 1 -4];
b=[4; -7];
aeq=[1 1 -1];
beq=[5];vlb=[0, 0];
vub=;[x,fval]=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub)
結果：x = 2.2500 6.7500 4.0000fval = 25.7500
即a，b，c分別取2.2500 6.7500 4.0000時，z有最小值25.7500
更加詳細的例子如下，因為上面沒有講明最大值與最小值的區別，補充如下：
函式格式:linprog(f,a,b,a1,b1,xstart,xend)
f:求解最小函式的表示式係數矩陣是m*1的矩陣
a:≤不等式條件約束矩陣其均為形式
b:a對應不等式右邊的常數項
a1:=等式條件約束矩陣
b1:a1對應不等式右邊的常數項
xstart:x的取值範圍的最小值的係數矩陣為n*1的矩陣
xend:x的取值範圍的最大值的係數矩陣為n*1的矩陣
函式說明:不存在的項填寫即可
函式功能:線性規劃求最優值.
例子1:
求f=3*x1+6*x2+2*x3的最大值
滿足的條件是
3*x1+4*x2+x3≤2
x1+3*x2+2*x3≤1
且x1、x2、x3均大於等於0
matlab求解如下
a =[ 3 4 1
1 3 2 ]
b =[ 2
1 ]
f=[ -3
-6 -2 ]%這裡為什麼會是負數,因為matlab求的是f的最小值,要求最大值則取要求係數的相反數即可.
x=[ 0
0 0 ]
linprog(f,a,b,,,x,)%執行的matlab命令後輸出的如下內容.注意這裡的表示那一項不存在.當然最後那乙個也可以不要即linprog(f,a,b,,,x)
optimization terminated.
ans =
0.4000
0.2000
0.0000%即x1=0.4,x2=0.2,x3=0為最優解.帶回原式我可以知道f的最大值=3*0.4+6*0.2=2.4
例子2:
求f=-2*x1-3*x2-x3的最小值
滿足的條件是
x1+x2+x3≤3
x1+4*x2+7*x3+x4=9
且x1、x2、x3、x4均大於等於0
matlab求解如下
原題等價於求f=-2*x1-3*x2-x3+0*x4的最小值
其條件等價於
x1+x2+x3+0*x4≤3
x1+4*x2+7*x3+x4=9
則在matlab輸入如下內容
a=[1 1 1 0]
b=[3]
a1=[1 4 7 1]
b1=[9]
x=[ 0
0 0
0] f=[ -2
-3 -1
0] linprog(f,a,b,a1,b1,x)%執行命令或者輸入linprog(f,a,b,a1,b1,x,)
optimization terminated.
ans =
1.0000
2.0000
0.0000
0.0000
%說明x1=1,x2=2,x3=0,x4=0取得最小值
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