揹包問題是經典問題，網上已經提供了很多優秀的解法，這裡摘錄動態規則的方法，同時順便把揹包相關的變形問題也一些闡述。
問題：1. 經典揹包問題：給定乙個載重量為m，n個物品，其重量為wi，價值為vi，1<=i<=n，要求:把物品裝入揹包，並使包內物品價值最大。
2. 變形：要求裝入的物品重量最大？（問題很簡單，但請先別bs我）
3. 變形：要求裝入的物品重量剛好等於揹包的承重？換一種說法就是：n個數里挑出任意個數，使這些數的和等於某個值m。
4. 變形：n個數里挑出任意個數，使這些數的和最接近m，即和與m的差的絕對值最小。
問題1請參考：
核心思想如下：
在0/1揹包問題中，物體或者被裝入揹包，或者不被裝入揹包，只有兩種選擇。
迴圈變數i，j意義：前i個物品能夠裝入載重量為j的揹包中
(n+1)*(m+1)陣列value意義：value[i][j]表示前i個物品能裝入載重量為j的揹包中物品的最大價值
若w[i]>j，第i個物品不裝入揹包
否則，若w[i]<=j且第i個物品裝入揹包後的價值》value[i-1][j]，則記錄當前最大價值（替換為第i個物品裝入揹包後的價值）
問題2：很簡單。可以將這裡的重量看成是問題1的價值。之所以寫出來是為了方便分析問題4.
問題3：採用類似於問題1的方法，對n個數（無序），以n[i]表示第i個數。構造乙個（n＋1）行（m＋1）列的矩陣（＋1行與列是為了下標好計算）。
關鍵點：對於某個m＝j。給定序列n［1～i］，組成和為 j 的子集u中若包含n[i]，則n［1～i-1］肯定能夠組成和為j-n[i]。
如圖所示，為了簡單起見，令n個數正好是1到n遞增（不需要是有序的，僅為舉例方便），令m＝6。
矩陣的值v［i］［j］有三種表示方法：
1. y。表示n［i］ = j。這樣，由n［1～i］個數，和為j的一種挑法就是只挑出n[i]本身。
2. x。表示由n［1～i］個數構成和為j的集合中，任一集合都沒有n[i] 。
3. 矩陣的另乙個位址，表示n[i] 可以構成和為j的集合中的乙個元素，而其它的元素需要到矩陣的另乙個位址中繼續尋找。
演算法描述如下：
1. 若當前n［i］＝j ，則v［i］［j］標記為 「y」；
2. 判斷n［i］是否屬於加和集合。需要看n［1～i-1］是否可以構成 j-n[i]。判斷的方法就是對第j-n[i]列，從行號為i-1開始直到0，看是否有值不為 「x」。查詢的結果有兩種可能：
a. 沒有，即全為x。表示n［i］不可能屬於加和集合中的一分子，故把v［i］［j］標記為 「x」；
b. 有。記錄轉轉位址。
當遍歷結束後。採用回溯可以得到所有構成的路徑。這時，標記為「y」的矩陣值即是路徑回溯的終點。n個數
\m 0
1 2
3 4
5 6
0 yx
x xx x
x 1x y
x x
x x
x 2
x x
y（1，
1）x
x x
3 x
x x
y（1，
1）（2
，2）（
2，3）
4 x
x x
x y（
1，1）
（2，2
）5 x
x xx x
y（1，1
）舉例分析：
初始化第0行與第0列。
看v[1][1]，由於有n［1］=1，故標記為y。
看v[2][3]，考慮n[2]=2是否是構成和為3的乙個元素，則需要看由元素集合n[1~i-1]，是否可以構成j-n[i]，即｛1｝是否可以構成和為1。從查詢v[1][1]找到v[0][1]，發現v[1][1]標記為y，表示可以構成，所以v[2][3]記錄位址｛1，1｝。
看v[3][6]，同理，若n[3]=3能構成和為6的乙個元素的話，就要求n[1~2]能構成和為3，查詢發現v[2][3]的值不是「x」，表示上述假設成立，因此記錄（2，3）.
當遍歷結束後，回溯尋找和為m的方法，這裡m＝6.
首先發現v[5][6]，確定5，跳轉到v[1][1]，為y，結束，集合為｛1，5｝. 同列往上繼續走到v[0][1]，為x，結束。
往上走到v[4][6], 確定4，跳轉到v[2][2]，為y，結束，集合為｛2，4｝. 同列往上繼續走到v[1][2]與v[0][2]，皆為x，結束。
往上走到v[3][6]，確定3，跳轉到v[2][3]，確定2，跳轉到v[1][1]，確定1，集合為｛1，2，3｝. 同列往上繼續走到v[0][1]，為x; 回退，發現v[1][3]也為x，結束。
往上走到v[1~2][6]，都沒有構成集合，結束。
這裡為什麼在找到一條路徑後，還需要繼續在同列往上走呢？這是為把所有組合都成找到，請自行分析m＝7的情況，如果不往上走，將只能找到｛2，5｝與｛3，4｝，而少一組｛1，2，4｝.而最後一組｛1，2｝又構成了3.
問題4：
運用問題2或3的解法可解。運用問題2來解比較快：假設揹包最大承重為m，解一次問題2，即可得到加和小於m，且最接近m的的值，設為s。由於求的是絕對值最小，所以有可能可以找到加和大於m的解，而這個解必然屬於揹包大小為m＋1到m＋（m－s）－1 範圍內，問題2的解。舉例如下：假設m＝6，求得s＝3，目前的絕對值差為3，而如果正確的解是s>m的情況，那麼該解必然屬於揹包大小為7到8當中的最優解。即，最壞情況下，給乙個大小為8的包，能裝滿，則這時和的絕對值差為2，比原來優，而揹包給的再大已經沒有意義。
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時間限制 1 sec 記憶體限制 128 mb 提交 48 解決 17 給定n種物品和乙個揹包，物品i的重量是wi，其價值為vi，問如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包的物品的總價值最大？在選擇裝入揹包的物品時，對每種物品i只能有兩種選擇，裝入或者不裝入，不能裝入多次，也不能部分裝入。第一行輸入物品...
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