01揹包問題簡介
詳細說明
狀態轉移方程詳解
舉例**塊
測試結果
0-1揹包問題：給定n種物品和一揹包。物品i的重量是wi，其價值為vi，揹包的容量為c。問：應該如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中的物品的總價值最大？
在選擇裝入揹包的物品時，對每種物品i只有兩種選擇，即裝入揹包或不裝入揹包。不能將物品i裝入揹包多次，也不能只裝入部分的物品i。因此，該問題稱為0-1揹包問題。
01揹包的狀態轉換方程 c[i,j] = max
c[i,j]表示在前i件物品中選擇若干件放在承重為 j 的揹包中，可以取得的最大價值。
問題分析：令c(i,j)表示在前i(1<=i<=n)個物品中能夠裝入容量為就j(1<=j<=c)的揹包中的物品的最大價值，則可以得到如下的動態規劃函式:
(1)
c(i,0)=c(0,j)=0
(2)
c(i,j)=c(i-1,j) （j小於wi）
c(i,j)=max ( j>wi)
(1)式表明：如果第i個物品的重量大於揹包的容量，則裝入前i個物品得到的最大價值和裝入前i-1個物品得到的最大價都是相同的，即物品i不能裝入揹包。c(i，0)=c（0，j）=0表示第i個物體裝入容量為0的揹包或者第0個物體裝入容量為j的揹包的價值都是0
(2)式表明，如果第i個物品的質量小於揹包的容量，則會有一下兩種情況：
（a）. 如果把i個物品裝入揹包，則揹包物品的價值等於第i-1個物品裝入容量為j-wi的揹包中的價值加上第i個物品的價值p。
（b）.如果第i個物品沒有裝入揹包，則揹包中物品的價值就等於把前i-1個物品裝入容量為j放入揹包中所取得的價值。顯然取2者中價值最大的作為前i個物品物品裝入容量為j放入揹包中的最優值。
由表示式中各個符號的具體含義可得：
w[i]:第i個物體的重量
p[i]:第i個物體的價值
c[i][j]:第i個物體放入容量為j的揹包的最大價值
c[i-1][j]:前i-1個物體放入容量為j的揹包的最大價值
c[i-1][m-w[i]]:前i-1個物體放入容量為m-w[i]的揹包的最大價值
因此狀態方程：c[i][j]= max
解釋：第一種是第i件放不進去，這時所得價值為c[i-1][j];第二種是第i件放進去，這時所得價值為c[i-1][j-w[i]]（第二種是什麼意思?就是如果第i件放進去，那麼容量j-w[i]裡就要放入前i-1件物品）。最後比較第一種和第二種所的價值的大小，哪種相對大，c[i][j]的值就是哪種
有編號分別為a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重為10的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？
只要你能通過找規律手工填寫出上面這張表就算理解了01揹包的動態規劃演算法。
首先要明確這張表是至底向上，從左到右生成的。
為了敘述方便，用e2單元格表示e行2列的單元格，這個單元格的意義是用來表示只有物品e時，有個承重為2的揹包，那麼這個揹包的最大價值是0，因為e物品的重量是4，揹包裝不了。
對於d2單元格，表示只有物品e，d時,承重為2的揹包,所能裝入的最大價值，仍然是0，因為物品e,d都不是這個揹包能裝的。
同理，c2=0，b2=3,a2=6。
對於承重為8的揹包，a8=15,是怎麼得出的呢？
根據01揹包的狀態轉換方程，需要考察兩個值，
乙個是c[i-1,j],對於這個例子來說就是b8的值9，另乙個是c[i-1,j-wi]+pi；
在這裡，
c[i-1,j]表示我有乙個承重為8的揹包，當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值
c[i-1,j-wi]表示我有乙個承重為6的揹包（等於當前揹包承重減去物品a的重量），當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值
c[i-1,j-wi]就是指單元格b6,值為9，pi指的是a物品的價值，即6
由於c[i-1,j-wi]+pi = 9 + 6 = 15 大於c[i-1,j] = 9，所以物品a應該放入承重為8的揹包
#include
#include
#define max(a,b) (((a)>(b))?(a):(b))
int v[200][200];
int knapsack(int c, int *w, int *p, int *x, int n)
for (j = 0; j <= c;j++)
for (i = 1; i <= n ; i++)
else
//表示第i個物體可以放入揹包，因此揹包的價值等於前i-1個物體放入(揹包總量-第i個物體質量)的總量中的價值加上}}
j = c;
for (i = n ; i >= 1; i--)
else
}printf("被選中的物品是(1是選中,0是未選中):\n");
for (i = 1; i <= n ; i++)
printf("\n");
return v[n ][c];
}int main(void)
printf("請輸入物體1--物體%d的價值:\n",n);
for (i = 1; i <= n; i++)
printf("請輸入揹包的最大容量:\n");
scanf("%d", &c);
s = knapsack(c, w, p, x, n);
printf("最大的物品價值和為:\n");
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0 1揹包（動態規劃）
題意 有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的體積是c i 價值是w i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。基本思路 這是最基礎的揹包問題，特點是 每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。用子問題定義狀態 即f i v 表示前i件物品恰放入乙個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程...