卡爾曼濾波

卡爾曼濾波演算法

首先引入乙個離散控制過程的系統，用乙個線性隨機微分方程來描述：x(k)

=a x(k-1

)+b u(k)

+w(k)，系統的測量值： 

z(k)

=h x(k)

+v(k) 。x(k)是k時刻的系統狀態，u(k)是k時刻對系統的控制量。a和b是系統引數，對於多模型系統，他們為矩陣。z(k)是k時刻的測量值，h 是測量系統的引數，對於多測量系統，h為矩陣。w(k)和v(k)分別表示過程和測量的雜訊。他們被假設成高斯白雜訊，他們的covariance 分別是q，r（這裡我們假設他們不隨系統狀態變化而變化）。 

利用系統的過程模型，來**下一狀態的系統。假設現在的系統狀態是k，根據系統的模型，可以基於系統的上一狀態而**出現在狀態： 

x(k|k

-1)=

a x(k-1

|k-1

)+b u(k) ……….. (1) 

式(1)中，x(k|k

-1)是利用上一狀態**的結果，x(k-1

|k-1

)是上一狀態最優的結果，u(k)為現在狀態的控制量，如果沒有控制量，它可以為0。 

到現在為止，系統結果已經更新了，可是，對應於x(k|k

-1)的covariance還沒更新。我們用p表示covariance： 

p(k|k

-1)=

a p(k-1

|k-1

) a』

+q ……… (2) 

式(2) 中，p(k|k

-1)是x(k|k

-1)對應的covariance，p(k-1

|k-1

)是x(k-1

|k-1

)對應的covariance，a』表示 a的轉置矩陣，q是系統過程的covariance。式子1，2就是卡爾曼濾波器5個公式當中的前兩個，也就是對系統的**。 

現在我們有了現在狀態的**結果，然後我們再收集現在狀態的測量值。結合**值和測量值，我們可以得到現在狀態(k)的最優化估算值x(k

|k)： 

x(k|k)

=x(k|k

-1)+

kg(k) (z(k)

-h x(k|k

-1)) ……… (3) 

其中kg為卡爾曼增益(kalman gain)： 

kg(k)

=p(k|k

-1) h』 

/(h p(k|k

-1) h』 

+r) ……… (4) 

到現在為止，我們已經得到了k狀態下最優的估算值x(k

|k)。但是為了要另卡爾曼濾波不斷的執行下去直到系統過程結束，我們還要更新k狀態下x(k

|k)的covariance： 

p(k|k)

=（i-kg(k) h）p(k|k

-1) ……… (5) 

其中i 為1的矩陣，對於單模型單測量，i=1

。當系統進入k

+1狀態時，p(k

|k)就是式子(

2)的p(k-1

|k-1

)。這樣，演算法就可以自回歸的運算下去。 

卡爾曼 卡爾曼濾波 1

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