RSA演算法簡介

rsa演算法簡介

1 簡介

當前最著名、應用最廣泛的公鑰系統rsa是在2023年，由美國麻省理工學院(mit)的rivest、shamir和adleman在題為《獲得數字簽名和公開鑰密碼系統的方法》的**中提出的。它是乙個基於數論的非對稱(公開鑰)密碼體制，是一種分組密碼體制。其名稱來自於三個發明者的姓名首字母。它的安全性是基於大整數素因子分解的困難性，而大整數因子分解問題是數學上的著名難題，至今沒有有效的方法予以解決，因此可以確保rsa演算法的安全性。rsa系統是公鑰系統的最具有典型意義的方法，大多數使用公鑰密碼進行加密和數字簽名的產品和標準使用的都是rsa演算法。

rsa演算法是第乙個既能用於資料加密也能用於數字簽名的演算法，因此它為公用網路上資訊的加密和鑑別提供了一種基本的方法。它通常是先生成一對rsa 金鑰，其中之一是保密金鑰，由使用者儲存；另乙個為公開金鑰，可對外公開，甚至可在網路伺服器中註冊，人們用公鑰加密檔案傳送給個人，個人就可以用私鑰解密接受。為提高保密強度，rsa金鑰至少為500位長，一般推薦使用1024位。

該演算法基於下面的兩個事實,這些事實保證了rsa演算法的安全有效性：

1) 已有確定乙個數是不是質數的快速演算法；

2) 尚未找到確定乙個合數的質因子的快速演算法。

2 工作原理

1) 任意選取兩個不同的大質數p和q，計算乘積r=p*q；

2) 任意選取乙個大整數e，e與(p-1)*(q-1)互質，整數e用做加密金鑰。注意：e的選取是很容易的，例如，所有大於p和q的質數都可用。

3) 確定解密金鑰d： d*e modulo （p - 1）*（q - 1） = 1 根據e、p和q可以容易地計算出d。

4) 公開整數r和e，但是不公開d；

5) 將明文p (假設p是乙個小於r的整數)加密為密文c，計算方法為：

c = pow(p,e) modulo r

6) 將密文c解密為明文p，計算方法為：

p = pow(c,d) modulo r

然而只根據r和e（不是p和q）要計算出d是不可能的。因此，任何人都可對明文進行加密，但只有授權使用者（知道d）才可對密文解密。

3 簡單例項

為了說明該演算法的工作過程,我們下面給出乙個簡單例子,顯然我們在這只能取很小的數字，但是如上所述，為了保證安全，在實際應用上我們所用的數字要大的多得多。

例：選取p=3, q=5，則r=15，（p-1）*（q-1）=8。選取e=11（大於p和q的質數），通過d * 11 modulo 8 = 1 ，計算出d =3。

假定明文為整數13。則密文c為

c = pow(p,e) modulo r

= pow(13,11) modulo 15

= 1,792,160,394,037 modulo 15

= 7

復原明文p為：

p = pow(c,d) modulo r

= pow(7,3) modulo 15

= 343 modulo 15

= 13

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