最短路徑是圖論中乙個很經典的問題：給定圖g(v,e)，求一條從起點到終點的路徑，使得這條路徑上經過的所有邊的邊權之和最小。
對任意給出的圖g(v,e)和起點s、終點t，如何求從s到t的最短路徑。解決最短路徑問題的常用演算法有dijkstra演算法、bellman-ford演算法、spea演算法和floyd演算法。
dijkstra演算法可以很好地解決無負權圖的最短路徑問題，但如果出現了負權邊，dijkstra演算法就會失效，例如下圖中設定a為源點時，首先會將點b和點c的dist值變為-1和1，接著由於點b的dist值最小，因此用點b去更新其未訪問的鄰接點（雖然並沒有）。在這之後點b標記為己訪問，於是將無法被從點c出發的邊cb更新，因此最後 dist[b]就是-1，但顯然a到b的最短路徑長度應當是a→c→b的4。
為了更好地求解有負權邊的最短路徑問題，需要使用bellman-ford演算法（簡稱bf演算法）。和dijkstra演算法一樣，bellman-ford演算法可解決單源最短路徑問題，但也能處理有負權邊的情況。
bellman-ford演算法的思路簡潔直接，易於讀者掌握。現在考慮環，也就是從某個頂點出發、經過若干個不同的頂點之後可以回到該頂點的情況。而根據環中邊的邊權之和的正負，可以將環分為零環、正環、負環（如下圖所示，環a→b→c中的邊權之和分別為零、正、負）。顯然，圖中的零環和正環不會影響最短路徑的求解，因為零環和正環的存在不能使最短路徑更短；而如果圖中有負環，且從源點可以到達，那麼就會影響最短路徑的求解；但如果圖中的負環無法從源點出發到達，則最短路徑的求解不會受到影響。
與dijkstra演算法相同，bellman-ford演算法設定乙個陣列d，用來存放從源點到達各個頂點的最短距離。同時bellman-ford演算法返回乙個bool值：如果其中存在從源點可達的負環，那麼函式將返回false；否則，函式將返回true，此時陣列d中存放的值就是從源點到達各頂點的最短距離。
bellman-ford演算法的主要思路如下面的偽**所示。需要對圖中的邊進行v-1輪操作，每輪都遍歷圖中的所有邊：對每條邊u→v，如果以u為中介點可以使d[v]更小，即d[u]+length[u->v]v]更新d[v]。同時也可以看出，bellman-ford演算法的時間複雜度是o(ve)，其中n是頂點個數，e是邊數。
for(int i=0;iv)
}}
}首先，如果最短路徑存在，那麼最短路徑上的頂點個數肯定不會超過v個。於是，如果把源點s作為一棵樹的根結點，把其他結點按照最短路徑的結點順序連線，就會生成一棵最短路徑樹。顯然，在最短路徑樹中，從源點s到達其餘各頂點的路徑就是原圖中對應的最短路徑，且原圖和源點一旦確定，最短路徑樹也就確定了。另外，由於最短路徑上的頂點個數不超過個，因此最短路徑樹的層數一定不超過v。
由於初始狀態下d[s]為0，因此在接下來的步驟中d[s]不會被改變(也就是說，最短路徑樹中第一層結點的d值被確定)。接著，,通過bellman-ford演算法的第一輪操作之後，最短路徑樹中的第二層頂點的d值也會被確定下來；然後進行第二輪操作，於是第三層頂點的d值也被確定下來。這樣計算直到最後一層頂點的d值確定。由於最短路徑樹的層數不超過v層，因此 bellman-ford演算法的鬆弛操作不會超過v-1輪。證畢。由於 bellman-ford演算法需要遍歷所有邊，顯然使用鄰接表會比較方便；如果使用鄰接矩陣，則時間複雜度會上公升到o(v^3)。因此下面的**將使用鄰接表作為舉例：
struct node;
vectoradj[maxv]; //圖 g，adj[u]存放從頂點u出發可以到達的所有頂點
int n; // n為頂點數，圖g使用鄰接表實現，maxv為最大頂點數
int d[maxv]; //起點到達各點的最短路徑長度
void dijkstra(int s)
} } }
}
vectoradj[maxv]; //圖g的鄰接表
int n,d[maxv],num[maxv]; //num陣列記錄頂點的入隊次數
bool inq[maxv]; //頂點是否在佇列中
bool spea(int s)
} }
} return true; //無可達負環
}
Bellman Ford演算法 和 SPFA演算法
bellman ford演算法是求含負權圖 的單源最短路徑演算法，效率很低，但 很容易寫。即進行不停地鬆弛 relaxation 每次鬆弛把每條邊都更新一下，若n 1次鬆弛後還能更新，則說明圖中有負環 即負權迴路，本文最後有解釋 無法得出結果，否則就成功完成。bellman ford演算法有乙個小優...
Bellman Ford演算法和SPFA演算法
演算法介紹 dijkstra可以解決單源無負邊最短路徑問題。但是當遇到含有負邊的單源最短路徑問題就需要使用bellman ford演算法來解決。bellman ford演算法還可以檢測出負環。演算法步驟 我們可以看到bellman ford演算法的演算法結構是比較簡單的，複雜度是o v e o ve...
Bellman Ford演算法和Dijkstra演算法
bellman ford演算法是通過relax邊來實現的，由於最短無負權迴路的路徑應該最多有v 1條邊，所以一共執行v 1次relax操作即可，而且注意，每次relax操作都只是基於上一次relax操作之後的圖，和這次relax中已經relax了的節點毫無關係 這個是重點！檢查負權迴路原理 若有負權...