① $a_1 + a_2 + \dots + a_n = r$ 的解數。
$a_i, r \in \mathbb_$
擋板法。$\binom$
② $a_1 + a_2 + \dots + a_n \le r$ 的解數。
$a_i, r \in \mathbb_$
$a_1 + a_2 + \dots + a_n \le r$ 與 $a_1 + a_2 + \dots + a_n + a_ = r$ 的解一一對應。
$\binom$
③ 錯位排列數
滿足遞推 $d_n = (n - 1) (d_ + d_)$
$d_1 = 0$，$d_2 = 1$ 。
④ $a_1 + a_2 + \dots + a_n \le r$ 且 $a_i \le k$ 的解數。
容斥原理。
令集合 $a$ 表示所有滿足 $a_1 + a_2 + \dots + a_n \le r$ 的序列的集合。
令集合 $a_i$ 表示滿足 $a_1 + a_2 + \dots + a_n \le r$ 且 $a_i > k$ 的序列的集合。
對於 $t \sse \$，定義 $a_t = \cap_ a_i$，則 $|a_t| = \binom$。
根據容斥原理，答案是
$\sum_} (-1)^ |a_t| = \sum_^ (-1)^i \binom\binom$。
組合計數問題中容斥原理的應用
容斥原理作為數學中的乙個重要定理，在acm當中也有重要的應用，可以用於解決組合計數問題，概率論問題，數論問題。具體參見2013 成都七中 王迪 容斥原理 容斥原理當中奇數個集合為正，偶數個集合為負。其核心思想是 把重複的扣掉，再把扣多的加回來。初始化時會用到的公式 c m,0 c m,m 1 c n...
頻繁出現在IT面試中的組合計數問題
由於計算機與組合數學有著千絲萬縷的聯絡，所以在很多大公司的筆試題目中，經常就會出現一些組合計數問題，現整理如下 1.求5個節點的二叉樹有多少中形態？該問題最直接的做法是窮舉出所有的可能情況，畢竟只有5個節點。當然還可以利用遞推式進行求解。假設n個節點的二叉樹的形態有f n 種，則f 0 f 1 1。...
組合計數 經典序列問題
1.la 5092 permutation counting 題意 給定 1 sim n 的排列 滿足 a i i 的下標 i 的個數稱為此排列的 e 值，例如 的 e 值為 1 的 e 值為 2 給定整數 n 和 k 1 leq n leq 1000,0 leq k leq n 求 e 值恰好為 ...