13 整數劃分 計數類DP

每種劃分方式都是按照從大到小排序的

樣例分析：

5有7種劃分方式

5 = 5

5 = 4 + 1

5 = 3 + 2

5 = 3 + 1 + 1

5 = 2 + 2 + 1

5 = 2 + 1 + 1 + 1

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

解法一：用揹包問題的思想

把整數n看做乙個容量為n的揹包

然後一共有n個物品，每個物品的體積分別是1,2,3，...，n。（也就是n這個數的所有因子）

每種物品可以用無限次，所以是完全揹包問題

求恰好裝滿揹包的方案數

狀態表示：

集合：dp[i][j]表示從物品1~i中選，總體積恰好為j的選法的集合

屬性：數量

狀態計算：集合的劃分，同揹包問題

根據第i個物品選了幾個來劃分

狀態數量：n ^ 2

轉移數量：n(粗略估計的，比n小，應該為log n)

時間複雜度:n ^ 3

然後進行優化

二維做法

1 #include 2

using
namespace
std;
3const
int n = 1010, mod = 1e9 + 7;4
intdp[n][n];
5int
main() 
11for (int i = 1; i <= n; i++) 17}
18}19     cout << dp[n][n] <
20return0;
21 }

而求方案數時，當都不選時，方案數是 1（即前 i 個物品都不選的情況也是一種方案），所以需要初始化為 1

即需要這樣：

for  (int i = 0; i <= n; i++)

等價變形後： f[0] = 1

一維做法

1 #include 2

using
namespace
std;
3const
int n = 1010, mod = 1e9 + 7;4
intdp[n];
5int
main() 13}
14     cout << dp[n] <
15return0;
16 }

ps : 最小值1 表示 ：j個數的總和是i的數中最小的數為1

1 #include 2

using
namespace
std;
3const
int n = 1010, mod = 1e9 + 7;4
intdp[n][n];
5int
main() 13}
14int res = 0;15
for (int i = 1; i <= n; i++) 
18     cout << res <
19return0;
20 }

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時間限制 3000 ms 記憶體限制 65535 kb 難度 3 描述 將正整數n表示成一系列正整數之和 n n1 n2 nk，其中n1 n2 nk 1，k 1。正整數n的這種表示稱為正整數n的劃分。求正整數n的不同劃分個數。例如正整數6有如下11種不同的劃分 6 5 1 4 2，4 1 1 3 3...

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