定義
尤拉函式：對正整數\(n\)，尤拉函式是小於等於\(n\)的數中與\(n\)互質的數的數目，記為\(\varphi(n)\)。
尤拉定理：若\(a\)與\(m\)互質，則\(a^\equiv 1 (mod \ m)\)
尤拉函式通項公式：
設 \(w\)為\(n\)的質因子個數，\(p_i\)為\(n\)的各個質因子
\[\varphi(n)=n\prod_^(1-\frac)
\]證明：
\[大體證明一下\\
顯然，對於每個質因子p_i,有\frac個數不與n互質\\
然而，對於每對質因子p_i,p_j,都有\frac個數被重複計算1次\\
同時，對於每三個質因子p_i,p_j,p_k,都有\frac個數被重複計算2次\\
……\\
以此類推,不難發現，這其實是個容斥\\
\therefore \varphi(n)=n-\sum}+\sum}-\sum}-\cdots+\sum}\\
\therefore \varphi(n)=n-n\sum}+n\sum}-n\sum}-\cdots+n\sum}\\
\therefore \varphi(n)=n(1-\sum}+\sum}-\sum}-\cdots+\sum})\\
……\\
最終因式分解得\\
\varphi(n)=n\prod_^(1-\frac)\\
\]證畢。
額，證明的有點草率
引理(1)如果\(n\)為素數，則\(\varphi(n) = n - 1\)
(2)如果\(n\)為某個素數\(p\)的\(a\)次冪\(p^a\)，則\(\varphi(p^a)=(p-1)*p^\)
(3)如果\(n\)為某兩個互質的數\(a\)，\(b\)的積，則\(\varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b)\)
證明： (1)顯然乙個質數，所有小於它的數，都與它互質。
(2)
\[\because比p_a小的正整數有p^個，其中能被p整除的數可以表示為p*t(t\in n^*,t\lt q^).\\
\therefore 共有p^個數能被p整除，從而不與p^a互質\\
\because當t = p^a時,p*t=p^a\\
\therefore t只能取到p^-1\\
\therefore \varphi(q^a)=p^a-1-(p^-1)=p^a-p^=(p-1)*p^\\
\] (3)
\[在比a*b小的整數中，由定義式得：\\
\varphi(a) = a\prod(1-\frac})\\
\varphi(b) = b\prod(1-\frac})\\
\because a的質因子或b的質因子一定是a*b的質因子\\
\therefore \varphi(a)*\varphi(b)=ab\prod(1-\frac})=\varphi(a*b)\\
\]證畢。
推論（敲小黑板劃重點）
尤拉定理的推論：若\(a,p\in n^*\)互質，則\(\forall b \in n^*\)有\(a^b \equiv a^\ (mod\ p)\)
證明：\[設b=q*\varphi(p)+r\ (r\in[1,\varphi(p)],即r = b\ mod\ \varphi(p)\\
則有:a^b\equiv a^\equiv (a^)^q*a^r\equiv 1^a*a^r\equiv a^r\equiv a^\\
\]證畢。
那麼，這個推論為什麼重要呢，在面對乘方算式取模的時候，總不能把它分解成乘法算式然後一步一步的取模吧，這時就要用到尤拉定理的推論了，我們只需把底數對\(p\)取模，把指數對\(\varphi(p)\)取模即可。
求尤拉函式
那麼既然尤拉函式這麼好用，我們怎麼求呢
1.首先，如果使用的尤拉函式個數較少，可以直接分解質因子，然後套通項公式求尤拉函式即可
(分解質因子的**實現參考：數學知識總結 之 質數)
2.當需要大量使用尤拉函式的時候，就需要使用篩法來預處理尤拉函式(打表)
最常用的是尤拉篩線性篩出尤拉函式的表
int prime[maxn],phi[maxn];
int cnt;
void getphi()
for(int j= 1; j <= cnt; j++)
if(!(i%prime[j]))
else}}
}
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