演算法總結之尤拉函式&中國剩餘定理
1.尤拉函式
概念：在數論，對正整數n，尤拉函式是少於或等於n的數中與n互質的數的數目。
通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)
其中p1, p2……pn為x的所有質因數，x是不為0的整數
注意：
1) φ(1)=1.
2)每種質因數只乙個。比如12=2*2*3那麼φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4
3)若n是質數p的k次冪，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。
4)φ(mn)=φ(m)φ(n)
5)當n為奇數時，φ(2n)=φ(n)
**實現：
1)直接求尤拉數：
1/*函式返回值為n的尤拉函式值*/2
int euler(intn)3
12if(n>1
)13 s=s/n*(n-1
);14
return
s;15 }
2)打表
1/*列印1-maxn的尤拉函式表*/2
int a[maxn]= ;
3void
euler()
413 }
2.中國剩餘定理
原文：
《孫子算經》中的題目：有物不知其數，三個一數餘二，五個一數餘三，七個一數又餘二，問該物總數幾何？
《孫子算經》中的解法：三三數之，取數七十，與餘數二相乘；五五數之，取數二十一，與餘數三相乘；七七數之，取數十五，與餘數二相乘。將諸乘積相加，然後減去一百零五的倍數。
結論：
令任意固定整數為m，當m/a餘a，m/b餘b，m/c餘c，m/d餘d，…，m/z餘z時，這裡的a，b，c，d，…，z為除數，除數為任意自然數時；餘數a，b，c，d，……，z為自然整數時。
1)當命題正確時，在這些除數的最小公倍數內有解，有唯一的解，每乙個最小公倍數內都有唯一的解。
2)當m在兩個或兩個以上的除數的最小公倍數內時，這兩個或兩個以上的除數和餘數可以定位m在最小公倍數內的具體位置，也就是m的大小。
3)正確的命題：分別除以a，b，c，d，…，z不同的餘數組合個數=a，b，c，d，…，z的最小公倍數=不同的餘數組合的迴圈週期。
具體步驟(以《孫子算經》中的題目為例):
1)找出三個數：從3和5的公倍數中找出被7除餘1的最小數15，從3和7的公倍數中找出被5除餘1 的最小數21，最後從5和7的公倍數中找出除3餘1的最小數70。
2)用15乘以2(2為最終結果除以7的餘數)，用21乘以3(3為最終結果除以5的餘數)，同理，用70乘以2(2為最終結果除以3的餘數)，然後把三個乘積相加(15*2+21*3+70*2)得到和233。
3)用233除以3，5，7三個數的最小公倍數105，得到餘數23，即233%105=23。這個餘數23就是符合條件的最小數。
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