SPFA演算法及其應用和優化

spfa演算法及其應用和優化

by mps

【問題引入】

又是一年春運時，因為睡懶覺而導致搶不到票的你，只能打車回家了，而無疑會消耗許多錢財（黑車...），為了盡可能的節省錢，你希望走的是最短路，路途中會經過n個城市，而你每次經過兩個城市之間的高速公路時，都會損耗ci元，假設其中包含了所有的價錢（郵費，過橋費之類的），你現在在1號城市，希望到達n號城市去，請問最少花費是多少？

【輸入描述】

第一行，n,m，表示有n個城市,m條高速公路

第二行至第m+1行，每行三個數u,v,w，表示u城市到達v城市的耗費為w元（均為有向邊）

【資料範圍】

對於20%的資料，n≤100,m≤1,000

對於50%的資料，n≤1,000, m≤1,000

對於100%的資料，n≤10,000,m≤10,000

【分析】

題目其實並不難，乙個最短路的裸模板題目

但是資料卻讓初學者犯了難，很明顯出題人的意思是這樣的：

對於20分，是留給只會floyd的人

對於50分，是留給會dijkstra或者bellman_ford

對於100分，是留給會heap+dijkstra或者spfa+(slf/lll)

本文著重介紹spfa以及優化（slf/lll)

參考資料：

spfa演算法是基於bellman_ford演算法的改進，bellman_ford演算法的大致模板如下：

for(i=1->v)

for(j=1->e)

if(u,v (-e 且 e(u,v)+δu<δv)

δv=e(u,v)+δu

時間複雜度o(ve)

對於資料較大的情況（比如說例題）會tle，所以我們需要優化

那麼如何優化呢？

我們發現，每次沒有必要鬆弛m條邊，只需要鬆弛與當前節點有關的邊即可，但是又會有些節點脫離了拓撲關係，所以我們可以採用佇列/棧來維護拓撲關係

這樣我們的時間複雜度就降到了o(vk) 一般情況下k<2，但沒有絕對性的證明而且有針對性資料，所以除非迫不得已採用spfa（事實上出現迫不得已的情況就是因為出題人想讓你用spfa....）否則盡可能的採用高效率的dijkstra，實在不行弄個堆優化，要知道，堆優化的dijkstra是可以超過spfa的（而且絕對穩定）

而spfa用手動佇列寫起來有點煩，而我們c++的福利就在於stl為我們提供了絕對具有安全性的佇列，但是耗時間太長了，不過我們可以採用許多優化來彌補

具體有4種優化方案（1,3只能選1種）

（1）slf

設當前隊頭為i，即將入隊的點j，若δi≥δj，則直接將j入對頭，否則入隊尾，效率提公升10%~20%，需要資料結構雙端佇列

（2）lll（效率低下，這裡不贅述）

（3）prq

採取優先佇列，每次儲存距離小的，效率提公升20%~30%,與堆優化的dijkstra並肩

（4）math（適用於判斷負權環）

由於k的取值不定，有可能會非常多，所以對於判斷負權環就只能無奈的tle了，這時我們可以用隨機數生成乙個在題目條件下的最大最極端的資料，然後不斷地縮小n

（補充：判斷是否具有負權環只需判斷每個點的入隊次數是否＞n）

到最後原本o(1000*1000)的演算法可能優化為o（1000*3）的演算法，不過本優化適宜rp好或者數學學霸使用

noip2014d2t2尋找道路

usaco 歡樂派對

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另：最短路學好對以後的網路流問題有極大的幫助

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