這一寒假，因為假期的延長，學習了一下新的演算法和資料結構。可能有些完全掌握了，但是有些確實有些不熟練。
在假期的最後一段時間，我會將在寒假及之前學習的一些知識逐漸整理為筆記，供自己複習鞏固，也供他人學習了解。筆記的順序按照我學習該知識點的時間排序。
筆記大部分會寫的很詳細，面向初學者還是很好懂的。雖然我的語文不好，但我會盡量用我的最好水平來寫。
可能乙個學 oi 還不到半年的蒟蒻的筆記確實沒有什麼看的價值，但我還是希望和大家一起慢慢變強。oi 的路還很長，一步一步走下去吧。
希望在某一天開學後，沒有人後悔自己一整個寒假碌碌無為。
什麼是快速冪
快速冪的原理
快速冪的**實現
快速冪的位運算優化
快速冪是一種快速求冪的演算法，面對大量資料時就會展現出它的優勢。
樸素的求冪演算法是用乙個迴圈逐漸累乘，時間複雜度為 \(\theta(n)\)，\(n\) 為指數。**如下：
#define mod 10000007
long long power(long long base,long long n)
快速冪的思想是將指數拆分為若干個 \(2\) 次冪之和，然後分別進行計算。
為什麼這樣更快呢？我們想一下，如果在迴圈中乘上本身而不是乘上底數，即可得到若干的 \(2\) 次冪，求 \(2^i\) 次冪的時間複雜度就是 \(\theta(i)\)，而樸素的演算法為 \(\theta(2^i)\)。
那麼怎麼將十進位制轉換為二進位制？不會的人請看下面。
我們舉乙個例子，我們要求 \(a\) 的 \(11\) 次冪。
我們將 \(11\) 轉換為二進位制數：
\[(11)_=(1011)_2
\]我們發現二進位制中，數字為 \(1\) 的數字為第 \(0\) 位、第 \(1\) 位和第 \(3\) 位，分別對應 \(2^0,2^1,2^3\)，而 \(11\) 正好等於 \(2^0+2^1+2^3\)。
其實上述做法就是十進位制轉二進位制最常用的方法：按權展開。
因此，並根據同底數冪乘法原理：
\[a^=a^=a^\times a^\times a^
\]就可以實現用若干 \(2\) 次冪來表示指數再進行計算了。
如何用**實現呢？一般有迴圈和遞迴兩種。
while 迴圈實現
一般常用此方法，因為迴圈效率比遞迴高，個人也較喜歡此方法。下面的詳細解釋也以此方法為例。
在 while 迴圈中，指數不為 \(0\) 為迴圈條件，每次迴圈中將底數擴方，相應的指數除以 \(2\)。在遇到奇數時，代表乙個二次冪分解完，將答案乘上當前的底數。
**：
#define mod 10000007
long long qpower(long long base,long long n) //base 為底數，n 為指數。
return res;
}
進入迴圈，初始賦值：
此時 \(n\) 為奇數，更新 res。同時更改 base（底數）、n（指數）：
然後的 \(n\) 為偶數，res 不作操作，其他同上。
這是就是最後一次了，\(n\) 為 \(1\)，最後一次更新。
然後 \(n\) 變成了 \(0\)，跳出迴圈，此時 res 為 \(32\)。
遞迴實現：
遞迴實現的思路其實和迴圈是一樣的，我在這裡就簡單的貼乙個**：
#define mod 10000007
long long qpower(long long base,long long n)
我們知道，計算機有乙個很神奇的運算，叫做位運算，它比普通運算快許多，那在快速冪中能不能用位運算優化呢？
肯定是能的。
首先>>表示右移，a>>i表示將 \(a\) 在二進位制下右移 \(i\) 位，低位丟棄。那麼不難想到，n/2就可以用n>>1來代替。
那麼在判定奇偶性時怎麼用位運算優化呢？首先，我們知道，如果乙個數是奇數，那麼它在二進位制下，末位一定是 \(1\)。根據這個特點，我們可以用按位與&這種運算來代替。
我們知道，\(1\) 的二進位制數是 \(0000\ldots 0001\)，那麼將它和乙個奇數按位與，結果肯定是 \(0000\ldots 0001\)，轉為十進位制就是 \(1\)，偶數則為 \(0\)。因此，**中的n%2==1可以改為n&1。
優化過的**：
#define mod 10000007
long long qpower(long long base,long long n)
return res;
}
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