矩陣快速冪 學習筆記

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據說，矩陣快速冪在遞推式優化上相當神奇，而且效率很高。。。

兩矩陣相乘，樸素演算法的複雜度是o(n^3)。如果求一次矩陣的m次冪，按樸素的寫法就是o(n^3*m)。既然是求冪，不免想到快速冪取模的演算法，這裡有快速冪取模的介紹，a^b %m 的複雜度可以降到o(logb)。如果矩陣相乘是不是也可以實現o(n^3 * logm)的時間複雜度呢？答案是肯定的。

先定義矩陣資料結構：　　

struct mat ;

mat operator * (mat a, mat b) }}

return c;
}

很明顯的可以推知，任何矩陣乘以單位矩陣，其值不改變。

有了前邊的介紹，就可以實現矩陣的快速連乘了。

mat operator ^ (mat a, int k) 

return c;
}

求第n個fibonacci數模m的值。如果這個n非常大的話，普通的遞推時間複雜度為o(n)，這樣的複雜度很有可能會掛掉。這裡可以用矩陣做優化，複雜度可以降到o(logn * 2^3)

如圖：

a = f(n - 1), b = f(n - 2)，這樣使構造矩陣

的n次冪乘以初始矩陣

得到的結果就是

。因為是2*2的據稱，所以一次相乘的時間複雜度是o(2^3)，總的複雜度是o(logn * 2^3 + 2*2*1)。

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學習筆記 矩陣快速冪

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