快速冪的學習

**：

int pow(int a,int n)

return rst;
}

我們學習複雜度時，看到logn級別的複雜度，第一時間想到的便是二分思想，快速冪也是一種二分思想減小複雜度的演算法。

** ：

int fastpow(int a,int k)

int ans = 1;
while (k) 
return ans;
}

首先，將11寫作二進位制，即1011.則

所以**中的 (k&1) 即是取最後一位，如果是1，就 *a . 而每次 a *= a，則是 每位對應的 3 ^ 1 , 3 ^ 2 , 3 ^ 4……

而**中的 k>>=1 ，則是右移一位，保證每次取的都是新的最後一位。

我們打表來觀察一下計算 3^11的各個變數的具體值：

可以比較清晰的看出其中的每一步的變化。

首先是簡單的矩陣a的k次方的計算。從上面的整數的k次方計算可知，矩陣的k次方也是按照二進位制計算，不同的是需要過載矩陣的乘法運算即可。

1、矩陣結構體的定義

struct matrix

}matrix
(int n)
n = n;
clear()
;}void
unit()
}void
display()
cout<
void
operator=(
const matrix& tmp)
const}}
matrix operator*(
const matrix& tmp)
const}}
return ans;}}
;

matrix fastpow

(matrix base,
int k)
while
(k)return ans;
}

分析都大同小異，在此只放上**以及出現的錯誤

1、**：

#include

using
namespace std;
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define f first
#define s second
#define pb push_back
#define mk make_pair
typedef
long
long ll;
const
int maxn =10+
5;const
int mod =
1e7+7;
struct matrix
cout<
};matrix mulmatric
(matrix a, matrix b,
int p)}}
return ans;
}matrix fastpow
(matrix a,
int k,
int p)
matrix ans;
ans.row = a.row;
ans.col = a.col;
mem(ans.mat,0)
;for
(int i =
0; i < a.row; i++
)while
(k)return ans;
}int n,m;
intmain()
a.row = a.col = n+2;
mem(a.mat,0)
;for
(int i =
0;i < n+
1;i++
) a.mat[i][0
]=10;
for(
int i =
0;i <= n+
1;i++
) a.mat[i]
[n+1]=
1;for(
int i =
1; i <= n; i++)}
ans =
fastpow
(a,m,mod)
;        ans =
mulmatric
(ans,b,mod)
;        cout<
]<
}return0;
}

（1）特別特別要注意下標，因為此題中的關係矩陣是乙個 (n+2) * (n+2) 的矩陣

（2）注意在快速冪函式，以及矩陣乘法函式中，每次宣告 matrix ans，都要給其行和列賦值。並且每次都要初始化，不然都不預設是0.

矩陣快速冪題目的難點一般是找關係方程，不會直接讓你求乙個矩陣的幾次方。此題求冪和上面不同的是，乘法是矩陣乘法的一般形式，即 (n,k) 矩陣乘以 (k,m) 矩陣。除此之外還要注意的是取模運算的位置。

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