當n個編號元素放在n個編號位置,元素編號與位置編號各不對應的方法數用m(n)表示,那麼m(n-1)就表示n-1個編號元素放在n-1個編號位置,各不對應的方法數,其它類推.
第一步,把第n個元素放在乙個位置,比如位置k,一共有n-1種方法;
第二步,放編號為k的元素,這時有兩種情況.1,把它放到位置n,那麼,對於剩下的n-2個元素,就有m(n-2)種方法;2,不把它放到位置n,這時,對於這n-2個元素,有m(n-1)種方法;
綜上得到
m(n)=(n-1)[m(n-2)+m(n-1)]
特殊地，m(1)=0,m(2)=1
下面通過這個遞推關係推導通項公式:
為方便起見，設m(k)=k!n(k), (k=1,2,…,n)
則n(1)=0,n(2)=1/2
n>=3時,n!n(n)=(n-1)(n-1)!n(n-1)+(n-1)!n(n-2)
即 nn(n)=(n-1)n(n-1)+n(n-2)
於是有n(n)-n(n-1)=-[n(n-1)-n(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[n(2)-n(1)]=(-1)^n/n!
因此n(n-1)-n(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!
n(2)-n(1)=(-1)^2/2!
相加，可得
n(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!
因此m(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]
可以得到
錯排公式為m(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)
從這乙個問題， 我們發現， 使用遞推的思想很容易證明錯排問題， 在百科之中， 對m(n-1）描述的不是特別清晰， 在這裡， 根據自己的理解， 簡要分析一樣， 當n元素位置不放在k元素的位置的時候， 我們進行下面分析的時候， 可以吧k元素的位置看做是n元素的位置， 這樣， 我們下一步要做的就是分析包括n在內的m（n-1）種可能。
當我們推到出來遞推公式， 這個在程式上的問題只是解決了一半， 下面， 要轉化遞推公式為通項公式， 這是乙個關鍵的一步， 因為， 用遞迴完成非log數量級的問題， 真的很不划算的， 至於通項公式的求解過程可以參見百科。
裝錯信封問題
1)同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然後每人從中拿一張別人送出的賀年卡．則四張賀年卡的不同分配方式有[ ]
a．6種 b．9種 c．11種 d．23種
2)有5個客人參加宴會，他們把帽子放在衣帽寄放室內，宴會結束後每人戴了一頂帽子回家．回家後，他們的妻子都發現他們戴了別人的帽子．問5個客人都不戴自己帽子的戴法有多少種？
上述兩個問題，實質上是完全一樣的．是被著名數學家尤拉(leonhard euler，1707－1783)稱為「組合數論的乙個妙題」的「裝錯信封問題」的兩個特例．「裝錯信封問題」是由當時最有名的數學家約翰•伯努利(johann bernoulli，1667－1748)的兒子丹尼爾•伯努利(danidbernoulli，1700－1782)提出來的，大意如下：
乙個人寫了n封不同的信及相應的n個不同的信封，他把這n封信都裝錯了信封，問都裝錯信封的裝法有多少種？
當然， 自己第一次接觸錯排問題的時候， 也是ac了乙個有關裝錯信封的問題。
錯排原理的應用
錯排原理的應用一 hdoj2048神 上帝以及老天爺 問題分析 這就是一道典型的錯排原理的應用 n張票的所有排列可能自然是an n n 種排列方式 n張票n個人的錯排情況 f n i 1 f n 1 f n 2 n張票的所有排列可能自然是ann n 種排列方式 n張票的所有錯排情況是 n 1 f n...
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錯排問題的總結
方法一 n各有序的元素應有n！種不同的排列。如若乙個排列式的所有的元素都不在原來的位置上，則稱這個排列為錯排。任給乙個n，求出1,2,n的錯排個數dn共有多少個。遞迴關係式為 d n n 1 d n 1 d n 2 d 1 0,d 2 1 可以得到 錯排公式為dn n 1 1 2 1 3 1 n n...